Método de cálculo da estrutura treliçada
Esta calculadora de estrutura treliçada realiza o cálculo de cargas e resistência da treliça para coberturas e telhados em aço ou madeira. Com base na geometria, nos vãos e nas cargas especificadas, determina os esforços axiais nas barras, seleciona seções a partir das séries de dimensões incorporadas, verifica tração, compressão e estabilidade, considera o peso próprio e avalia a flecha da treliça. Os elementos de aço e madeira são calculados separadamente, considerando as propriedades do material selecionado, os comprimentos das barras e o travamento fora do plano dos banzos.
Valores de referência e recomendações
Modelo estrutural e distribuição de cargas
Modelo da treliça. A treliça é considerada um sistema bidimensional de barras articuladas. Cada barra trabalha sob tração ou compressão axial, e seu comprimento geométrico é considerado igual à distância entre os centros dos nós adjacentes. O apoio esquerdo restringe os deslocamentos horizontal e vertical, enquanto o apoio direito restringe o deslocamento vertical e permite o deslocamento horizontal.
Cargas nodais. A carga vertical é aplicada aos nós do banzo superior. Cada nó interno carregado recebe a carga nodal completa P, enquanto os dois nós extremos do banzo superior recebem P / 2 cada um. Essa distribuição faz com que a carga total aplicada corresponda à carga atuante em todo o vão da treliça.
Carga por área. Se a carga de entrada for especificada como q em kN/m2 ou kg/m2, primeiro é calculada a carga total suportada por uma treliça:
Q = q · L · s
Aqui, L é o vão da treliça em metros e s é o espaçamento entre treliças adjacentes em metros. Se o banzo superior estiver dividido em n painéis, a carga nodal completa para os nós internos será:
P = Q / n
Os nós extremos recebem P / 2 cada um. Quando as cargas são inseridas em quilogramas-força, é utilizada a conversão 1 kN = 101,9716 kgf; os cálculos internos das forças são realizados em kN.
Reações de apoio, forças nas barras e peso próprio
Equilíbrio da treliça. Para cada nó são formuladas equações de equilíbrio nas direções horizontal e vertical. A resolução do sistema completo fornece as reações de apoio e a força axial N em cada barra. Uma força positiva é considerada tração e uma força negativa, compressão.
Peso próprio. Após a seleção preliminar das seções, a massa de cada barra é calculada a partir da área da seção transversal, do comprimento real e da densidade do material. O peso é convertido em força utilizando g = 9,80665 m/s2 e dividido igualmente entre os dois nós da barra. Em seguida, as forças e as seções são recalculadas, de modo que o aumento do peso de seções maiores seja considerado no ciclo seguinte de cálculo.
Seleção da seção. Para cada barra carregada, a calculadora verifica em ordem crescente as dimensões disponíveis do tipo de seção selecionado e escolhe a primeira seção que satisfaz os requisitos de resistência e, para barras comprimidas, também os requisitos de estabilidade. Uma barra com força calculada praticamente nula recebe uma seção não inferior à menor seção utilizada nas barras carregadas do grupo e material correspondentes.
Reserva de resistência. Após a verificação, é calculada a taxa de utilização η, em que η = 1 corresponde ao limite de cálculo. A reserva em porcentagem é calculada como:
Reserva = (1 / η - 1) · 100%
Por exemplo, η = 0,80 corresponde a uma reserva de 25%. Para barras sem carga, não é apresentada uma reserva numérica.
Cálculo dos elementos de aço
Módulo de elasticidade. A deformação do aço é calculada utilizando E = 210000 MPa. Para as classes S235, S275, S355 e S420, a tensão de escoamento utilizada no cálculo depende da espessura da parede ou da mesa do perfil.
- para espessuras de até 16 mm inclusive: S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa;
- para espessuras acima de 16 mm e até 40 mm: 225, 265, 345 e 400 MPa, respectivamente;
- para espessuras acima de 40 mm: 215, 255, 335 e 390 MPa, respectivamente.
Tração. Para uma barra tracionada, a taxa de utilização é calculada a partir da força axial e da resistência da seção transversal completa:
η = N / (A · fy)
Aqui, N é expresso em N, A é a área da seção transversal em mm2 e fy é a tensão de escoamento em MPa. A condição é atendida quando η ≤ 1.
Compressão e estabilidade global. Primeiro é calculada a esbeltez nas duas direções principais:
λ = Leff / i
Para cada direção, a esbeltez relativa é então calculada como:
λrel = λ / π · √(fy / E)
O fator de imperfeição é adotado como α = 0,49 para perfis tubulares quadrados e retangulares e tubos circulares, e como α = 0,76 para cantoneiras simples e perfis U. O fator de redução de estabilidade é calculado como:
Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]
χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
O cálculo é realizado nas duas direções e é utilizado o menor valor de χ. A verificação à compressão é:
η = N / (χ · A · fy) ≤ 1
Estabilidade local das seções de aço. Antes da verificação de flambagem global, são verificadas, para as barras comprimidas, as relações entre largura ou diâmetro e espessura. O cálculo utiliza ε = √(235 / fy). Para perfis tubulares quadrados e retangulares, a condição é (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε; para tubos circulares, D / t ≤ 90ε2; e para cantoneiras, a / t ≤ 14ε. Para perfis U, a alma é verificada em relação a 42ε e a parte saliente da mesa em relação a 14ε.
Cálculo dos elementos de madeira
Propriedades de cálculo da madeira. A calculadora utiliza as classes de resistência C16, C24 e C30. São utilizados os seguintes valores de resistência à tração, resistência à compressão, módulo de elasticidade e densidade média:
- C16: ft = 10 MPa, fc = 17 MPa, E0,05 = 5400 MPa, Emean = 8000 MPa, densidade 370 kg/m3;
- C24: ft = 14,5 MPa, fc = 21 MPa, E0,05 = 7400 MPa, Emean = 11000 MPa, densidade 420 kg/m3;
- C30: ft = 18 MPa, fc = 23 MPa, E0,05 = 8000 MPa, Emean = 12000 MPa, densidade 460 kg/m3.
Fatores para a madeira. A verificação de resistência utiliza o fator de modificação kmod = 0,60 e o fator de material γM = 1,30. Assim, a resistência básica de cálculo é obtida multiplicando a resistência característica por 0,60 / 1,30.
Tração na madeira. Para elementos cuja maior dimensão da seção transversal h seja inferior a 150 mm, é utilizado também um fator de tamanho:
kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]
Para h igual ou superior a 150 mm, utiliza-se kh = 1. A verificação à tração é:
η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]
Compressão na madeira. Para cada direção, calcula-se primeiro a esbeltez geométrica λ e, em seguida, a esbeltez relativa:
λrel = λ / π · √(fc / E0,05)
Quando λrel ≤ 0,30, utiliza-se kc = 1. Para valores maiores de esbeltez:
Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]
kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])
É utilizado o menor valor de kc entre as duas direções. A verificação final de uma barra de madeira comprimida é:
η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1
Travamento e comprimento efetivo
No plano da treliça. O comprimento efetivo utilizado para o cálculo da esbeltez é considerado igual ao comprimento geométrico total da barra entre nós adjacentes. Assim, a divisão de um banzo pelos nós da treliça também o divide em barras de cálculo independentes no plano da treliça.
Fora do plano da treliça. Para os banzos superior e inferior, o comprimento efetivo é determinado pelo travamento. Quando é especificado um espaçamento de travamento, o valor inserido em milímetros é utilizado diretamente como Ly,eff. Quando são selecionados nós travados individualmente, a calculadora determina a maior distância entre pontos adjacentes de restrição lateral do banzo correspondente. Para as barras da alma, o comprimento efetivo fora do plano é considerado igual ao comprimento total da barra.
Orientação das seções retangulares. Para perfis tubulares retangulares e elementos retangulares de madeira, considera-se que a maior dimensão da seção esteja no plano da treliça e a menor dimensão fora desse plano. A estabilidade fora do plano pode, portanto, ser determinante mesmo quando a esbeltez no plano é relativamente baixa.
Orientação prática. Um ponto de travamento deve ser considerado efetivo somente quando o elemento conectado ou o nó realmente impedir o deslocamento lateral do banzo. O banzo superior costuma ser travado por terças, ripas ou um sistema de contraventamento, enquanto o banzo inferior pode ser travado por contraventamentos entre treliças ou por outros elementos que proporcionem apoio lateral efetivo.
Cálculo da flecha e seleção das seções pela rigidez
Flecha elástica. Após a seleção das seções, a calculadora forma a matriz de rigidez da treliça completa. A rigidez axial de cada barra é determinada por E · A / L. São calculados os deslocamentos horizontais e verticais de todos os nós, e o maior deslocamento vertical em valor absoluto é adotado como a flecha calculada da treliça.
Módulo de elasticidade. A flecha do aço é calculada utilizando E = 210000 MPa. Para a madeira, são utilizados os módulos médios de elasticidade Emean: 8000 MPa para C16, 11000 MPa para C24 e 12000 MPa para C30.
Correção para a flexibilidade real da estrutura. Um modelo de treliça puramente articulado considera apenas as deformações axiais das barras e normalmente fornece uma flecha menor que a da estrutura real. Por isso, a flecha elástica calculada é multiplicada por um fator interno de correção de 1,15 para uma treliça de aço e 1,50 para uma treliça de madeira. Esses valores são hipóteses conservadoras utilizadas pela calculadora e não são coeficientes de cálculo dos Eurocódigos.
Limite de flecha. O nível de rigidez selecionado define a flecha máxima permitida:
flim = L / 200, L / 250 ou L / 300
Um denominador maior significa uma flecha admissível menor. Na calculadora, L/200 é utilizado como nível normal de rigidez, L/250 como nível aumentado e L/300 como a opção mais rígida.
Aumento automático das seções. Se a flecha ultrapassar o limite selecionado após as verificações de resistência e estabilidade, a calculadora aumenta a área-alvo da seção transversal das barras carregadas. Em cada ciclo, é utilizado o seguinte fator:
kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]
Após o aumento das seções, o peso próprio, as forças nas barras, a resistência, a estabilidade e a flecha são recalculados. São executados até 12 ciclos. Ao selecionar a seção seguinte, ela também deve satisfazer as verificações de resistência e estabilidade.
Massa e base normativa europeia
Massa da treliça. A massa de cada barra é calculada por m = A · L · ρ, em que A é convertido para m2, L é o comprimento da barra em metros e ρ é a densidade em kg/m3. Para o aço é utilizada uma densidade de 7850 kg/m3. Para a madeira, são utilizados 370, 420 ou 460 kg/m3 para C16, C24 ou C30, respectivamente. A massa total da treliça é a soma das massas de todas as barras calculadas.
Normas europeias. A lógica do cálculo segue princípios associados à EN 1990 «Eurocódigo - Bases para o projeto de estruturas» e à EN 1991 «Eurocódigo 1 - Ações em estruturas». As verificações dos elementos de aço utilizam abordagens da EN 1993-1-1 «Eurocódigo 3 - Projeto de estruturas de aço - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios». As verificações dos elementos de madeira utilizam abordagens da EN 1995-1-1 «Eurocódigo 5 - Projeto de estruturas de madeira - Parte 1-1: Geral - Regras comuns e regras para edifícios», enquanto as classes de resistência C16, C24 e C30 seguem a EN 338 «Madeira estrutural - Classes de resistência».
FAQs
Por que reduzir o espaçamento do travamento pode diminuir significativamente a seção necessária?
O espaçamento do travamento determina o comprimento efetivo do banzo fora do plano da treliça. Um comprimento efetivo menor reduz a esbeltez, aumenta o fator de redução de estabilidade e pode permitir que a mesma força de compressão seja suportada por uma seção menor. O efeito é especialmente perceptível em seções retangulares com rigidez relativamente baixa em torno do eixo fraco.
Por que algumas barras mostram um traço na coluna «Estabilidade»?
A estabilidade à flambagem é verificada para barras comprimidas. Uma barra tracionada é verificada quanto à resistência à tração da seção completa, portanto é exibido um traço na coluna de estabilidade. Para uma barra comprimida, OK significa que a verificação de estabilidade adotada foi atendida, enquanto NO significa que não foi.
Por que aumentar a classe de resistência do aço ou da madeira nem sempre reduz significativamente a dimensão da seção?
A seção necessária não é determinada apenas pela resistência do material. Para barras comprimidas, a esbeltez e a estabilidade podem ser determinantes, enquanto a flecha também pode governar o dimensionamento da treliça completa. Por isso, uma resistência maior do material nem sempre permite utilizar a próxima seção de menor dimensão.
Qual é a diferença entre a reserva de resistência exibida e um fator de segurança?
A porcentagem exibida é calculada a partir da taxa real de utilização da seção selecionada. Por exemplo, uma utilização de 80% resulta em uma reserva de 25% segundo a verificação adotada. Ela representa a capacidade calculada restante do elemento selecionado, e não um fator de segurança fixo adicionado previamente à carga.
Por que a flecha calculada da treliça pode ser muito menor que L/250?
Uma estrutura treliçada transmite as cargas principalmente por tração e compressão axial das barras, de modo que uma estrutura com altura suficiente pode apresentar uma flecha elástica relativamente pequena. A calculadora também multiplica a flecha idealizada por 1,15 para o aço e por 1,50 para a madeira e, se o limite de flecha selecionado for ultrapassado, aumenta automaticamente as seções das barras e recalcula a treliça.