Розрахунок балки на прогин

Методика розрахунку балки на прогин

Калькулятор обчислює прогин і перевіряє міцність балки на згин для рівномірно розподіленого лінійного навантаження (кг/м або кН/м) або для зосередженої сили (кг або кН). Розрахунок базується на класичних формулах опору матеріалів для обраної схеми опирання та геометрії перерізу.

Також враховується власна вага балки. Результат містить розрахований прогин d (мм), допустимий прогин d_lim (мм) і перевірки напружень (нормальних і дотичних). Для деяких тонкостінних перерізів додатково показуються спрощені перевірки стінки та полиці.

Орієнтири та рекомендації

Нормативні орієнтири відповідають логіці розрахунків, що застосовується в Єврокодах. Прогини та внутрішні зусилля визначаються в лінійно-пружній постановці. Матеріальні довідкові значення та перевірки узгоджені з EN 1990 (основи), EN 1991 (навантаження), EN 1993-1-1 (сталь), EN 1995-1-1 (деревина).

Одиниці та перерахунок навантажень використовують стандартне прискорення вільного падіння g = 9.80665. Застосовуються такі перетворення:

1 kN = 1000 N

1 kg ≈ 9.80665 N

Тому для перерахунку кг/м → кН/м використовується множник 9.80665 / 1000. Для зворотного перерахунку використовується 1000 / 9.80665.

Матеріал задає модуль пружності E, густину для власної ваги та значення міцності, які використовуються у перевірках.

• Сталь (EN 1993-1-1). Модуль пружності: E = 200000 MPa. Густина: 7850 kg/m³. Міцність, що використовується як межа в цьому калькуляторі: S235 → 197 MPa, S275 → 231 MPa, S355 → 298 MPa, S420 → 353 MPa. Коефіцієнт для дотичних напружень: k_v = 0.58.
• Деревина (EN 1995-1-1). Модуль пружності: E = 10000 MPa. Густина для власної ваги: 700 kg/m³. Міцність, що використовується як межа: C16 → 8.62 MPa, C24 → 12.92 MPa, C30 → 16.15 MPa. Коефіцієнт для дотичних напружень: k_v = 0.10.

Власна вага балки додається до зовнішнього навантаження. Лінійне навантаження від власної ваги визначається з площі перерізу A та густини ρ:

G = ρ · A · g

де G - рівномірно розподілене навантаження від власної ваги (N/m), ρ - густина (kg/m³), A - площа (mm², перераховується в m²), g = 9.80665. Далі G переводиться в кН/м або кг/м залежно від обраних одиниць.

Характеристики перерізу обчислюються за введеними розмірами. У розрахунку використовуються:

• A площа (mm²).
• I момент інерції відносно осі згину (mm⁴).
• W момент опору (mm³), зазвичай W = I / y, де y - відстань від нейтральної осі до крайнього волокна (mm).

Схема опирання впливає на максимальний згинальний момент і прогин через коефіцієнти. Для рівномірно розподіленого навантаження q застосовуються такі числові коефіцієнти:

• Шарнір-шарнір: коефіцієнт прогину k_f = 0.0130208333 (це 5/384). Коефіцієнт моменту k_M = 0.125001 (≈ 1/8).
• Закріплення-шарнір: k_f = 0.0054054054 (це 1/185). k_M = 0.125 (це 1/8).
• Закріплення-закріплення: k_f = 0.0026041667 (це 1/384). k_M = 0.08333333 (це 1/12).
• Консоль: k_f = 0.125 (це 1/8). k_M = 0.5 (це 1/2).

Зусилля для рівномірного навантаження обчислюються так:

Mmax = kM · q · L²

де q - сумарне лінійне навантаження (kN/m або N/m), а L - проліт (m або mm, перераховується до узгоджених одиниць).

Прогин для рівномірного навантаження обчислюється так:

d = kf · q · L⁴ / (E · I)

де E - модуль пружності (MPa), I - момент інерції (mm⁴), а d отримується в мм після перерахунку одиниць.

Зосереджене навантаження обчислюється за типовими формулами для сили, прикладеної в середині прольоту. Для прогину використовується коефіцієнт k_p (замість k_f), який залежить від схеми опирання:

• Шарнір-шарнір: k_p = 0.020833 (це 1/48).
• Закріплення-шарнір: k_p = 0.00912.
• Закріплення-закріплення: k_p = 0.0052.
• Консоль: k_p = 0.3333333 (це 1/3).

Тоді прогин від сили P (N або kN) обчислюється так:

d = kp · P · L³ / (E · I)

де L - ефективна довжина для обраної схеми. Для консолі в перевірці допустимого прогину використовується збільшена довжина: L_eff = 2 · L.

Допустимий прогин задається дільником n у правилі d_lim = L_eff / n. Дільник n вибирається автоматично залежно від довжини (mm):

• L_eff ≤ 1000: n = 120.
• 1000 < L_eff ≤ 3000: n лінійно від 120 до 150.
• 3000 < L_eff ≤ 6000: n лінійно від 150 до 200.
• 6000 < L_eff ≤ 24000: n лінійно від 200 до 250.
• 24000 < L_eff ≤ 36000: n лінійно від 250 до 300.
• L_eff > 36000: n = 300.

Такий вибір відповідає поширеній практиці для граничних станів придатності до експлуатації. Для житлових і громадських перекриттів часто застосовують діапазон L/200…L/300. Для консолей вимоги зазвичай жорсткіші, тому застосовується L_eff = 2·L.

Перевірка нормальних напружень порівнює розраховане напруження з допустимим значенням для обраного матеріалу та класу:

σ = Mmax / W

де σ - нормальне напруження (MPa). Критерій: σ ≤ v, де v - вибране значення міцності (MPa). Запас показується у відсотках як v/σ − 1.

Перевірка дотичних напружень порівнює дотичне напруження τ з межею v · k_v:

τ ≤ v · kv

де для сталі використовується k_v = 0.58, а для деревини k_v = 0.10. Це дає однозначну числову межу для зсуву без зайвого ускладнення.

Сумісна дія напружень для деяких перерізів оцінюється еквівалентним напруженням і порівнюється з порогом 0.87 · v:

σeq ≤ 0.87 · v

Цей критерій використовується як інженерна перевірка, коли одночасно діють нормальні та дотичні напруження.

Спрощені перевірки стінки та полиці для тонкостінних елементів використовують безрозмірні критерії. Для стінки застосовується межа: λ ≤ 2.5. Для полиці фактичне співвідношення порівнюється з граничним:

w = 0.5 · √(206000 / v)

Якщо умови не виконуються, практична рекомендація полягає в збільшенні товщини або застосуванні ребер жорсткості.

FAQs

Чому для консолі прогин і допустимий прогин базуються на різних довжинах?

Для консольних балок деформації помітніші, а вимоги придатності до експлуатації часто суворіші. Тому в перевірці допустимого прогину використовується L_eff = 2·L замість лише геометричної довжини. Це робить критерій більш консервативним для того самого прольоту.

Що входить до сумарного лінійного навантаження?

Сумарне лінійне навантаження q - це сума зовнішнього навантаження та власної ваги балки. Власна вага розраховується за густиною матеріалу та площею перерізу з використанням g = 9.80665. Тому прогин і напруження змінюються навіть за однакового зовнішнього навантаження, якщо змінюються матеріал або геометрія.

Які значення міцності використовуються для сталі та деревини?

Для сталі застосовуються фіксовані рівні (MPa): S235 → 197, S275 → 231, S355 → 298, S420 → 353. Для деревини: C16 → 8.62, C24 → 12.92, C30 → 16.15. Ці значення використовуються як межі в перевірці нормальних напружень.

Навіщо потрібна перевірка на зсув, якщо вже є перевірка на згин?

Згин визначає напруження в крайніх волокнах, але зсув може бути критичним біля опор і в тонких стінках. Перевірка τ ≤ v·k_v додає контроль роботи стінки та зон з великими поперечними силами. Для сталі використовується k_v = 0.58. Для деревини використовується k_v = 0.10.

Які межі прогину часто застосовують на практиці?

Часто використовують діапазон L/200…L/300 залежно від призначення конструкції та чутливості оздоблення. У цьому калькуляторі дільник n змінюється від 120 до 300 зі збільшенням довжини балки, що охоплює типові інженерні цілі. Якщо потрібен суворіший контроль, використовуйте верхню частину діапазону та застосовуйте обмеження для консолі.