Розрахунок балки на прогин і міцність

Методика розрахунку балки на прогин

Калькулятор розрахунку балки на прогин і міцність визначає прогин і міцність сталевої балки під дією статичного рівномірно розподіленого або зосередженого навантаження. За розмірами перерізу він визначає його геометричні характеристики, потім враховує власну вагу балки та розраховує максимальний згинальний момент, поперечну силу, прогин, нормальні та дотичні напруження.

Розрахунок застосовується до прямих сталевих балок постійного перерізу за малих деформацій і лінійно-пружної роботи матеріалу. Для зосередженого навантаження сила прикладається посередині прольоту для балок, що мають опори з обох кінців, і на вільному кінці для консольної балки.

Орієнтири та рекомендації

Розрахункова модель

Прогин балки. Розрахунок базується на класичній теорії згину балок. Використовуються модуль пружності сталі E = 210000 МПа і момент інерції перерізу I. Чим більший момент інерції, тим менший прогин за однакових прольоту та навантаження.

Геометрія перерізу. За введеними розмірами розраховуються площа поперечного перерізу A у мм², момент інерції I у мм⁴, пружний момент опору W у мм³ і статичний момент площі Q у мм³. Переріз розглядається як ідеалізована геометрична форма без радіусів заокруглень і нахилів полиць.

Пружний момент опору визначається через відстань між нейтральною віссю та найбільш віддаленою точкою перерізу:

W = I / ymax

Для перерізу, який не є симетричним відносно осі згину, спочатку визначається положення його центра ваги. Для кутника розрахунок передбачає згин у площині, що відповідає орієнтації, показаній у калькуляторі.

Матеріал і властивості сталі

Модуль пружності. Для всіх класів сталі використовується E = 210000 МПа. Це значення застосовується під час розрахунку прогину балки та характеризує жорсткість сталі в пружній області.

Густина. Для розрахунку маси та власної ваги балки калькулятор використовує густину сталі ρ = 7850 кг/м³ і прискорення вільного падіння g = 9.80665 м/с².

Межа текучості. Для сталей S235, S275, S355 і S420 калькулятор використовує відповідно f_y = 235, 275, 355 і 420 МПа. Ці значення застосовуються для перевірки напружень. Для конкретного сталевого виробу фактичне значення f_y може залежати від його товщини та відповідного стандарту на продукцію.

Одиниці навантаження та власна вага

Розподілене навантаження. Його можна задавати в кг/м або кН/м. Значення в кг/м розглядається як кгс/м і переводиться в одиниці сили з використанням g = 9.80665 м/с²:

1 кгс/м = 0.00980665 кН/м

Зосереджене навантаження. Його можна задавати в кг або кН. Значення в кілограмах розглядається як кілограм-сила:

1 кгс = 9.80665 Н

Власна вага. Спочатку за введеними розмірами визначається площа поперечного перерізу A, потім за об'ємом балки та густиною сталі розраховується її маса. Власна вага перетворюється на рівномірно розподілене навантаження, що діє по всій довжині балки:

qself = ρ · A · g

Для зовнішнього розподіленого навантаження повне розподілене навантаження становить:

q = qext + qself

Коли діє зовнішня зосереджена сила P, власна вага балки продовжує діяти як розподілене навантаження q_self. Тому власна вага балки враховується для кожної схеми опирання та навантаження.

Згинальний момент і поперечна сила

Внутрішні зусилля. Після визначення повного навантаження калькулятор знаходить максимальний за модулем згинальний момент M і максимальну поперечну силу V. Формули залежать від схеми опирання.

• Шарнірно оперта: M = qL2/8 + PL/4, V = qL/2 + P/2.
• Защемлення-шарнір: M = qL2/8 + 3PL/16, V = 5qL/8 + 11P/16.
• Защемлення-защемлення: M = qL2/12 + PL/8, V = qL/2 + P/2.
• Консоль: M = qL2/2 + PL, V = qL + P.

Тут L - проліт балки, q - повне рівномірно розподілене навантаження з урахуванням власної ваги, а P - зовнішнє зосереджене навантаження. Якщо зовнішнє навантаження є розподіленим, P = 0.

Максимальний прогин балки

Шарнірно оперта балка. Максимальний прогин від розподіленого навантаження та зосередженої сили посередині прольоту розраховується методом суперпозиції:

d = 5qL4/(384EI) + PL3/(48EI)

Балка із защемленням на обох кінцях. Защемлення обох кінців значно зменшує прогин:

d = qL4/(384EI) + PL3/(192EI)

Консоль. Максимальний прогин виникає на вільному кінці:

d = qL4/(8EI) + PL3/(3EI)

Балка із защемленням на одному кінці та шарнірною опорою на іншому. Положення максимального прогину залежить від співвідношення між розподіленим і зосередженим навантаженнями. Якщо діє лише розподілене навантаження:

d = (39 + 55√33)qL4/(65536EI)

Якщо діє лише зосереджена сила посередині прольоту:

d = √5 · PL3/(240EI)

Коли зосереджене навантаження та розподілена власна вага діють одночасно, їхні криві прогину додаються. Максимальне значення визначається вздовж довжини балки, оскільки його положення не обов'язково збігається із серединою прольоту.

Як визначається граничний прогин

Граничний прогин. Розрахований прогин балки порівнюється з граничним значенням, вираженим як L/n. Чим більший коефіцієнт n, тим менший допустимий прогин:

dlim = L / n

Якщо користувач не задає власне значення n, калькулятор застосовує вбудований практичний орієнтир залежно від прольоту балки:

• для L ≤ 1000 мм: n = 120;
• для 1000 < L ≤ 3000 мм: n лінійно збільшується від 120 до 150;
• для 3000 < L ≤ 6000 мм: n лінійно збільшується від 150 до 200;
• для 6000 < L ≤ 24000 мм: n лінійно збільшується від 200 до 250;
• для 24000 < L ≤ 36000 мм: n лінійно збільшується від 250 до 300;
• для L > 36000 мм: n = 300.

У межах кожного проміжного діапазону n не змінюється стрибком, а лінійно інтерполюється між указаними граничними значеннями. Наприклад, для прольоту 4000 мм отримуємо n ≈ 166.7 і граничний прогин приблизно 24 мм. Якщо користувач задає власне значення L/n, воно замінює автоматичний орієнтир.

Перевірка міцності

Нормальне напруження. Максимальне напруження від згину розраховується за максимальним згинальним моментом і пружним моментом опору:

σ = M / W

Умова міцності:

σ ≤ fy / γM0

Калькулятор використовує γ_M0 = 1.0. Тому, наприклад, для сталі S235 розраховане нормальне напруження порівнюється з 235 МПа.

Дотичне напруження. Воно розраховується за максимальною поперечною силою V, статичним моментом Q, моментом інерції I та відповідною шириною матеріалу b:

τ = V · Q / (I · b)

Відповідне граничне значення:

τlim = fy / (√3 · γM0)

За γ_M0 = 1.0 це становить приблизно 135.7 МПа для S235, 158.8 МПа для S275, 205.0 МПа для S355 і 242.5 МПа для S420. Нормальне та дотичне напруження перевіряються окремо за відповідними граничними значеннями.

Як інтерпретувати результат

Жорсткість. Розрахований прогин балки порівнюється з d_lim. Якщо виконується d ≤ dlim, вибрана балка відповідає прийнятому критерію прогину. Якщо розрахований прогин перевищує граничне значення, потрібне жорсткіше поєднання прольоту та перерізу або інший заданий критерій L/n.

Міцність. Нормальні та дотичні напруження перевіряються окремо за відповідними граничними значеннями. Якщо умова виконується, калькулятор також показує запас у відсотках, розрахований як співвідношення між граничним і розрахованим напруженнями:

запас = (σlim/σ - 1) · 100%

Для дотичного напруження використовується той самий принцип із τ і τ_lim.

Пов'язані європейські стандарти

EN 1990 «Єврокод. Основи проєктування конструкцій». Цей стандарт установлює загальні принципи проєктування конструкцій, зокрема перевірки граничних станів несучої здатності та експлуатаційної придатності. Допустимий прогин залежить від призначення конструкції та застосовних критеріїв експлуатаційної придатності, тому вбудована шкала L/n використовується калькулятором як практичний орієнтир.

EN 1991 «Єврокод 1. Дії на конструкції». Ця серія стандартів визначає принципи встановлення дій і навантажень на конструкції. Навантаження, що використовується в розрахунку балки, має відповідати розглянутій ситуації навантаження.

EN 1993-1-1 «Єврокод 3. Проєктування сталевих конструкцій. Частина 1-1: Загальні правила і правила для будівель». Цей стандарт пов'язаний із властивостями сталі, що використовуються під час перевірки міцності, опором поперечного перерізу та коефіцієнтом γ_M0. Калькулятор використовує γ_M0 = 1.0.

EN 10025-2 «Гарячекатані вироби з конструкційних сталей. Частина 2: Технічні умови постачання нелегованих конструкційних сталей». Цей стандарт установлює механічні властивості поширених конструкційних сталей. Номінальні значення f_y, які калькулятор використовує для S235, S275, S355 і S420, слід розглядати разом із фактичною товщиною та типом сталевого виробу.

FAQs

Чому балка може пройти перевірку міцності, але не пройти перевірку прогину?

Міцність і жорсткість є різними критеріями. Напруження від згину переважно залежить від співвідношення M/W, тоді як прогин балки також дуже чутливий до прольоту та моменту інерції I. Тому сталева балка може мати достатню міцність і водночас прогинатися більше за прийняту межу.

Чому висота перерізу так сильно впливає на прогин балки?

Для прямокутного перерізу момент інерції визначається як I = bh3/12, тому висота перерізу входить у формулу в третьому степені. Навіть помірне збільшення висоти може значно підвищити жорсткість і зменшити прогин балки. Ширина також впливає на результат, але для такої форми перерізу її вплив є лінійним.

Навіщо враховувати власну вагу, якщо зовнішнє навантаження значно більше?

Власна вага діє безперервно по всій довжині балки та створює додатковий згинальний момент і прогин. Для важкого перерізу або великого прольоту цей внесок може стати суттєвим. Калькулятор визначає його автоматично за площею поперечного перерізу, густиною сталі 7850 кг/м³ і довжиною балки.

Як вибрати граничний прогин L/n?

Якщо окремий критерій не задано, автоматичне значення калькулятора розрахунку балки на прогин і міцність можна використовувати як практичний орієнтир. Воно поступово змінюється приблизно від L/120 для коротких балок до L/300 для великих прольотів. Якщо для конструкції встановлено конкретну межу, наприклад L/250 або L/300, введіть відповідне значення n. Чим більше n, тим суворіше обмеження прогину.

Чому розраховані характеристики перерізу можуть трохи відрізнятися від таблиць сталевих профілів?

Калькулятор визначає A, I і W безпосередньо за введеними розмірами ідеалізованого поперечного перерізу. Реальні прокатні профілі можуть мати радіуси заокруглень, геометричні особливості та виробничі розміри, які враховані в табличних характеристиках перерізу. Тому невелика відмінність від каталогових значень можлива навіть за однакових основних розмірів.