Deflexión y resistencia de vigas de madera

Sobre el cálculo de la deflexión y resistencia de vigas de madera

Esta calculadora de vigas de madera realiza el cálculo de una viga rectangular para determinar la deflexión (flecha), la resistencia a flexión y la resistencia a cortante. El cálculo de vigas de madera tiene en cuenta las dimensiones de la sección, la longitud del vano, la clase resistente de la madera, el tipo de apoyo, una carga uniformemente distribuida o concentrada y el peso propio de la viga.

Los resultados incluyen la deflexión de la viga, la deflexión admisible, las tensiones normales y cortantes, así como el área de la sección, el momento de inercia, el módulo resistente, la masa de la viga, la carga debida al peso propio, el momento flector máximo y el esfuerzo cortante máximo.

Valores orientativos y recomendaciones

Normas y propiedades de la madera

Normas europeas. Las propiedades de la madera estructural se basan en las clases resistentes definidas en EN 338 «Madera estructural. Clases resistentes». El enfoque general para la comprobación de elementos de madera sigue los principios de EN 1995-1-1 «Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación». Las normas relacionadas con las acciones y el cálculo por estados límite son EN 1991 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras» y EN 1990 «Eurocódigo: Bases de cálculo de estructuras».

Propiedades de las clases resistentes de la madera. Para cada clase resistente se utilizan su propio módulo de elasticidad medio, densidad media, resistencia característica a flexión y resistencia característica a cortante:

• C16: E0,mean = 8000 MPa, ρ = 370 kg/m3, fm,k = 16 MPa, fv,k = 3.2 MPa.
• C24: E0,mean = 11000 MPa, ρ = 420 kg/m3, fm,k = 24 MPa, fv,k = 4.0 MPa.
• C30: E0,mean = 12000 MPa, ρ = 460 kg/m3, fm,k = 30 MPa, fv,k = 4.0 MPa.

Resistencia de cálculo. La resistencia característica se convierte en resistencia de cálculo mediante la relación general del Eurocódigo 5:

fd = kmod·fk/γM

La calculadora utiliza valores fijos de kmod = 0.7 y γM = 1.3. Esto proporciona resistencias de cálculo a flexión de 8.62 MPa para C16, 12.92 MPa para C24 y 16.15 MPa para C30. Las resistencias de cálculo a cortante correspondientes son 1.72 MPa, 2.15 MPa y 2.15 MPa.

Factor de modificación kmod. En EN 1995-1-1, este factor depende de la clase de duración de la carga y de las condiciones de servicio de la madera. La calculadora no modifica este factor automáticamente y utiliza el valor fijo 0.7, lo que constituye una de las principales hipótesis del cálculo.

Carga aplicada. La calculadora considera que la carga introducida por el usuario ya representa una acción de cálculo definida. Los coeficientes de combinación de cargas de EN 1990 y EN 1991 no se aplican automáticamente al valor introducido.

Propiedades de la sección de la viga

Área de la sección. Para una viga rectangular de ancho t y altura h, el área se calcula como:

A = t·h

Cuando las dimensiones se introducen en milímetros, el área se obtiene en mm². Se utiliza para determinar la masa de la viga, el peso propio y la tensión cortante.

Momento de inercia. La rigidez a flexión de la sección rectangular se caracteriza mediante:

I = t·h3/12

El valor de I se expresa en mm⁴ y afecta directamente a la deflexión de la viga. Por ello, aumentar la altura de la viga tiene un efecto mucho mayor sobre la rigidez que el mismo aumento relativo del ancho.

Módulo resistente. El módulo resistente utilizado para la comprobación de la tensión de flexión es:

W = t·h2/6

El módulo resistente se expresa en mm³ y relaciona el momento flector máximo con la tensión en las fibras extremas de la madera.

Momento estático de área. Para la tensión cortante máxima en una sección rectangular, la calculadora utiliza:

Q = t·h2/8

Unidades de carga y peso propio

Conversión de cargas. Para convertir los valores expresados en kilogramos en fuerzas se utiliza la aceleración de la gravedad g = 9.80665 m/s2. Una carga distribuida en kg/m se convierte en fuerza por unidad de longitud, mientras que una carga concentrada en kg se convierte en newtons. Los valores introducidos directamente en kN/m o kN se tratan como magnitudes de fuerza.

Peso propio. La masa por metro se determina a partir del área de la sección y de la densidad media de la clase resistente de madera seleccionada. La carga distribuida debida al peso propio se calcula como:

qsw = ρ·A·g·10-9

Con A en mm², qsw se obtiene en kN/m. El peso propio siempre se incluye como una carga uniformemente distribuida, incluso cuando la carga exterior principal es concentrada.

Masa de la viga. Para una longitud de viga L en milímetros, la masa se calcula como:

m = ρ·A·L·10-9

El resultado se expresa en kilogramos.

Momento flector y esfuerzo cortante

Carga distribuida total. Para una carga exterior distribuida, los esfuerzos se calculan utilizando q = qext + qsw. Para una fuerza exterior concentrada P, la componente distribuida q corresponde al peso propio de la viga.

Esfuerzos de cálculo. En las fórmulas siguientes, q se expresa en kN/m, P en kN y L en metros. El momento flector máximo se obtiene en kN·m y el esfuerzo cortante máximo en kN:

• Apoyo simple-apoyo simple: Mmax = q·L2/8 + P·L/4, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Empotramiento-apoyo simple: Mmax = q·L2/8 + 3·P·L/16, Vmax = 5·q·L/8 + 11·P/16.
• Empotramiento-empotramiento: Mmax = q·L2/12 + P·L/8, Vmax = q·L/2 + P/2.
• Voladizo: Mmax = q·L2/2 + P·L, Vmax = q·L + P.

En las vigas apoyadas en ambos extremos, la fuerza concentrada se sitúa en la zona central del vano de acuerdo con el esquema de cálculo seleccionado. En un voladizo, la fuerza se aplica en el extremo libre. El peso propio de la viga actúa a lo largo de toda su longitud.

Cálculo de la deflexión de la viga

Rigidez a flexión. La deflexión está determinada por el producto E·I: cuanto mayor sea el módulo de elasticidad de la madera o el momento de inercia de la sección, menor será la deformación. En las fórmulas de deflexión, la calculadora utiliza q en N/mm, P en N, L en mm, E en MPa e I en mm⁴, por lo que el resultado se obtiene directamente en milímetros.

Viga simplemente apoyada. La deflexión debida a la carga distribuida y a la carga concentrada se calcula mediante superposición:

f = 5·q·L4/(384·E·I) + P·L3/(48·E·I)

Viga empotrada en ambos extremos. Para una viga empotrada en los dos extremos:

f = q·L4/(384·E·I) + P·L3/(192·E·I)

Viga en voladizo. Para una carga distribuida que actúa a lo largo de toda la longitud y una fuerza aplicada en el extremo libre:

f = q·L4/(8·E·I) + P·L3/(3·E·I)

Viga empotrada-apoyada. Para una carga distribuida actuando sola, el coeficiente de deflexión máxima es 0.00541612:

fq = 0.00541612·q·L4/(E·I)

Para una fuerza concentrada actuando sola, el coeficiente es √5/240 ≈ 0.00931695:

fP = 0.00931695·P·L3/(E·I)

Cuando el peso propio y una fuerza concentrada actúan simultáneamente, la posición de la deflexión máxima no tiene por qué coincidir con el centro del vano. Por ello, para el esquema empotramiento-apoyo simple, la calculadora combina las curvas elásticas producidas por ambas cargas y determina el valor absoluto máximo de la deflexión a lo largo de la viga.

Deflexión admisible

Criterio de deflexión. El valor admisible se define como la longitud del vano dividida por un coeficiente n:

flim = L/n

Cuando el coeficiente se selecciona automáticamente, varía progresivamente con la longitud del vano:

• hasta 1000 mm — n = 120;
• de 1000 a 3000 mm — linealmente de 120 a 150;
• de 3000 a 6000 mm — linealmente de 150 a 200;
• de 6000 a 24000 mm — linealmente de 200 a 250;
• de 24000 a 36000 mm — linealmente de 250 a 300;
• más de 36000 mm — n = 300.

El valor seleccionado automáticamente se utiliza como una referencia práctica de servicio y no como un límite normativo universal para todas las estructuras. Si se conoce un requisito específico del proyecto, puede introducirse una relación personalizada L/n; al aumentar n, disminuye la deflexión admisible y la comprobación se vuelve más estricta.

Comprobaciones de resistencia y evaluación del resultado

Tensión normal. La tensión máxima de flexión se calcula a partir del módulo resistente:

σm = Mmax/W

La condición de resistencia a flexión se cumple cuando:

σm ≤ fm,d

Tensión cortante. La tensión cortante máxima se determina a partir del esfuerzo cortante máximo:

τ = Vmax·Q/(I·t)

Para una sección rectangular, esta relación es equivalente a τ = 1.5·Vmax/A. La comprobación de resistencia a cortante se cumple cuando:

τ ≤ fv,d

Reserva de resistencia. Cuando se cumple una comprobación de resistencia, la reserva mostrada indica la relación relativa entre la resistencia de cálculo y la tensión calculada:

Reserva = (fd/σ - 1)·100%

Para la comprobación a cortante se utiliza τ en lugar de σ y fv,d en lugar de fd. La deflexión, la flexión y el cortante se comprueban de forma independiente: cumplir una condición no compensa superar otra.

FAQs

¿Por qué una misma viga de madera C24 se deforma menos que una viga C16?

La clase resistente de la madera influye no solo en la tensión admisible, sino también en la rigidez del material. La calculadora utiliza E = 8000 MPa para C16 y 11000 MPa para C24, por lo que, con la misma sección, vano y carga, la deflexión calculada de una viga de madera C24 es menor.

¿Por qué una viga de madera puede cumplir la comprobación de resistencia y no cumplir la de deflexión?

La resistencia y la rigidez describen aspectos diferentes del comportamiento de la viga. La tensión de flexión puede permanecer muy por debajo de la resistencia de cálculo de la madera, mientras que una rigidez E·I reducida en un vano largo puede provocar una deflexión excesiva. Por ello, en vigas de madera la flecha puede convertirse en la condición determinante incluso cuando la capacidad portante es suficiente.

¿Por qué se incluye el peso propio cuando la carga principal es concentrada?

Una fuerza concentrada describe únicamente una acción exterior aplicada en un punto. La propia viga de madera tiene masa a lo largo de toda su longitud, por lo que su peso propio actúa simultáneamente como una carga uniformemente distribuida qsw y contribuye a la deflexión, al momento flector y al esfuerzo cortante.

¿Qué significa la reserva de resistencia del resultado?

La reserva indica cuánto supera, en términos relativos, la resistencia de cálculo de la clase de madera seleccionada a la tensión calculada. Por ejemplo, una reserva de 20% representa la relación entre el límite de cálculo y la tensión actual; no significa automáticamente que la carga exterior pueda aumentarse exactamente un 20%, porque el peso propio de la viga también forma parte del cálculo.

¿Cómo debo elegir la deflexión admisible L/n?

Si no se conoce ningún requisito específico, la calculadora de deflexión y resistencia de vigas de madera utiliza un valor orientativo automático basado en la longitud del vano. Si una especificación del proyecto, un requisito de cálculo o una norma aplicable establece un límite concreto, debe utilizarse un valor personalizado de L/n. Cuanto mayor sea el denominador n, más estricta será la exigencia de deflexión.