Longitud de viga inclinada

Sobre el cálculo de la longitud de viga inclinada

Esta calculadora estructural de techo para la longitud de viga inclinada realiza el cálculo de dimensiones y cargas de una viga de madera con dos apoyos y un voladizo. Determina la longitud de la viga inclinada, las cargas, el momento flector, la fuerza cortante, la flecha y la sección rectangular mínima para las clases resistentes de madera C16, C24 y C30.

Al dimensionar la viga se comprueban simultáneamente la resistencia a flexión, la resistencia a cortante y la flecha final. El cálculo incluye la carga permanente de la cubierta, el peso propio de la viga, la nieve, el viento y una carga concentrada independiente debida al mantenimiento de la cubierta.

Valores orientativos y recomendaciones

Geometría de la viga inclinada

Pendiente de la cubierta. La distancia horizontal B se mide entre los apoyos, mientras que H es la diferencia vertical de altura entre ellos. Si se conoce la altura, el ángulo de la cubierta se calcula como:

α = arctan(H / B)

Si se especifica el ángulo α, la altura se calcula mediante la relación inversa:

H = B · tan(α)

Luz y voladizo. El voladizo horizontal S no modifica el ángulo de la cubierta. La longitud entre apoyos L_s y la longitud del voladizo L_o se miden a lo largo de la viga:

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Longitud necesaria de la viga. Una vez determinada la altura de la sección h, la calculadora incluye la longitud adicional necesaria para los cortes verticales de los extremos. La longitud final de la viga inclinada se calcula como:

L = Ls + Lo + h · tan(α)

Carga permanente y peso propio

Carga permanente. Incluye el peso del material de cubierta seleccionado, la carga permanente adicional de las demás capas del techo y el peso propio de la viga. La carga adicional puede incluir rastreles, contrarastreles, aislamiento, revestimiento interior y otros elementos fijados de forma permanente.

Peso propio de la viga. Se calcula automáticamente para cada sección comprobada. Se utilizan densidades de la madera de 370 kg/m³ para C16, 420 kg/m³ para C24 y 460 kg/m³ para C30.

Para una anchura de sección b, una altura de sección h y una separación entre vigas D introducidas en mm, el peso propio de la viga referido a la superficie de cubierta se calcula como:

gself = ρ · b · h / (1000 · D)

Como el peso propio depende del tamaño de la sección, se vuelve a calcular para cada tamaño comprobado y participa en la selección final de la sección.

Carga de nieve

Carga de nieve sobre el terreno. El valor introducido se considera la carga característica de nieve sobre el terreno correspondiente a la ubicación del edificio. La calculadora la convierte en carga de nieve sobre la cubierta mediante el coeficiente de forma μ.

• para α ≤ 30°, μ = 0.8
• para 30° < α < 60°, μ = 0.8 · (60 - α) / 30
• para α ≥ 60°, μ = 0

La carga característica de nieve sobre la pendiente de la cubierta se calcula como:

Sk = μ · Sg,k

Coeficiente de combinación. Para la nieve se utiliza el coeficiente de combinación especificado ψ_0,S. Un valor habitual es 0.5. Para Finlandia, Islandia, Noruega y Suecia, así como para otros países CEN a altitudes superiores a 1000 m, se utiliza un valor de 0.7, salvo que el Anexo Nacional establezca otro valor.

Carga de viento

Presión sobre la cubierta. Se introduce la presión característica del viento ya determinada para la superficie de cubierta correspondiente, teniendo en cuenta la altura del edificio, el terreno y los coeficientes aerodinámicos. Un valor positivo representa presión sobre la cubierta, mientras que un valor negativo representa succión del viento.

La presión del viento se considera perpendicular a la superficie de la cubierta. Por tanto, no se aplica ninguna conversión adicional mediante el ángulo de la cubierta.

Conversión de carga superficial a carga sobre la viga

Separación entre vigas. Las cargas superficiales se convierten en cargas lineales mediante la separación D. Las cargas permanentes verticales se multiplican además por cos(α), mientras que la carga de nieve definida sobre la proyección horizontal recibe un factor de cos2(α) al convertirse en una carga actuante sobre la viga inclinada.

Si las cargas se introducen en kg/m², para convertirlas a unidades de fuerza se utiliza la aceleración de la gravedad g = 9.81 m/s². Se adopta la relación 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Las cargas lineales características sobre la viga se calculan mediante:

qG = Gk · g · D · cos(α) / 106

qS = Sk · g · D · cos2(α) / 106

qW = Wk · g · D / 106

Con las dimensiones introducidas en mm, el valor numérico resultante se expresa en N/mm, que numéricamente equivale a kN/m.

Combinaciones de cargas para las comprobaciones de resistencia

Coeficientes parciales de seguridad. Para las cargas permanentes desfavorables se utiliza γG = 1.35, mientras que para nieve, viento y cargas variables concentradas se utiliza γQ = 1.50.

Para presión positiva del viento se comprueban las siguientes combinaciones de cargas distribuidas:

• 1.35 · qG
• 1.35 · qG + 1.50 · qS
• 1.35 · qG + 1.50 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qS + 1.50 · 0.60 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qW + 1.50 · ψ0,S · qS

El coeficiente de combinación para el viento acompañante se toma como ψ0,W = 0.60. Para la nieve acompañante se utiliza el valor especificado ψ_0,S.

Succión del viento. Si la carga de viento es negativa, la calculadora comprueba por separado la siguiente combinación:

qG + 1.50 · qW

En este caso, el peso propio y las demás cargas permanentes se oponen al efecto de levantamiento del viento y, por tanto, se incluyen sin el factor de incremento 1.35.

Carga concentrada

Carga de mantenimiento de la cubierta. La carga vertical concentrada se comprueba por separado de la nieve y el viento. Para cubiertas de categoría H, EN 1991-1-1 recomienda un valor característico de 1.0 kN, salvo que el Anexo Nacional especifique otro valor.

La fuerza vertical se convierte en la componente que flecta la viga inclinada:

P = Pk · cos(α)

Para la comprobación de resistencia, la carga permanente y la carga concentrada se combinan utilizando factores de 1.35 y 1.50. Se comprueba la posición de la carga a lo largo de la viga y se utilizan para el cálculo el momento flector y la fuerza cortante más desfavorables.

Momento flector y voladizo

Modelo estructural. La viga se considera apoyada en dos puntos y con un voladizo. La carga uniformemente distribuida actúa tanto sobre la luz entre apoyos como sobre el voladizo.

Para una luz L_s y una longitud de voladizo L_o, el momento flector positivo en la luz se calcula como:

Mspan = q · (Ls2 - Lo2)2 / (8 · Ls2)

El momento flector negativo en el apoyo causado por el voladizo cargado se calcula como:

Moverhang = q · Lo2 / 2

Para comprobar la sección se utiliza el mayor valor absoluto del momento flector. La fuerza cortante máxima se determina de forma análoga en las secciones críticas junto a los apoyos y a lo largo del voladizo.

Propiedades de la madera y resistencia de cálculo

Clases resistentes de la madera. Para C16, C24 y C30 se utilizan las siguientes propiedades:

• C16: fm,k = 16 N/mm², fv,k = 3.2 N/mm², E = 8000 N/mm²
• C24: fm,k = 24 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 11000 N/mm²
• C30: fm,k = 30 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 12000 N/mm²

Condiciones de servicio. Para las vigas se adopta la clase de servicio 2. El coeficiente del material se toma como γM = 1.30.

El factor de modificación k_mod depende del caso de carga determinante. El cálculo utiliza 0.60 para la carga permanente, 0.80 para la carga de nieve, 0.90 para la carga concentrada de mantenimiento y 1.10 para las combinaciones gobernadas por la acción del viento.

La resistencia de cálculo de la madera se calcula como:

fd = kmod · fk / γM

Comprobaciones de flexión y cortante

Flexión. Para una sección rectangular de anchura b y altura h, el módulo resistente es:

W = b · h2 / 6

La tensión de cálculo a flexión se determina como σm = M / W y se compara con la resistencia de cálculo a flexión f_m,d.

Cortante. Para una sección rectangular, la tensión de cálculo a cortante se obtiene a partir de la fuerza cortante máxima V:

τ = 1.5 · V / (kcr · b · h)

Para el área efectiva en la comprobación a cortante se utiliza un factor kcr = 0.67. La tensión resultante se compara con la resistencia de cálculo a cortante f_v,d.

Flecha y deformación a largo plazo de la madera

Momento de inercia. La rigidez de una sección rectangular se determina mediante:

I = b · h3 / 12

La flecha se calcula a partir de la línea elástica de una viga con dos apoyos y un voladizo. Para cada combinación de cargas se determina la flecha absoluta máxima dentro de la luz.

Deformación a largo plazo. Para la clase de servicio 2 se adopta el factor de fluencia kdef = 0.80. Por tanto, la componente de carga permanente en la flecha final se multiplica por 1 + kdef = 1.80.

Para la componente de nieve, la calculadora utiliza ψ_2,S igual a 0 cuando ψ0,S < 0.65 y 0.20 cuando ψ0,S ≥ 0.65.

Para una combinación gobernada por la nieve, la carga final utilizada para comprobar la flecha es:

qfin,S = qG · (1 + kdef) + qS · (1 + ψ2,S · kdef) + 0.60 · qW

El último término solo se incluye para presión positiva del viento.

Para una combinación gobernada por presión positiva del viento se utiliza la siguiente expresión:

qfin,W = qG · (1 + kdef) + qW + qS · (ψ0,S + ψ2,S · kdef)

Para succión del viento se comprueba la combinación de carga permanente y carga de viento negativa. Para la carga concentrada de mantenimiento se comprueba por separado la flecha final debida a la carga permanente y a la posición más desfavorable de la fuerza de mantenimiento.

Flecha admisible. El límite se define con relación a la luz entre apoyos:

flim = Ls / n

La calculadora ofrece los valores n = 200, 250 y 300. Un denominador mayor significa una flecha admisible menor y, por tanto, requiere una sección de viga más rígida.

Selección final de la sección de la viga

Tres condiciones. Una sección se considera suficiente únicamente cuando se cumplen simultáneamente los tres requisitos: el aprovechamiento a flexión no supera el 100 %, el aprovechamiento a cortante no supera el 100 % y el aprovechamiento de la flecha no supera el 100 %.

El aprovechamiento expresa la relación entre el efecto calculado y el valor admisible. Por ejemplo, 85 % significa que para esa comprobación se utiliza aproximadamente el 85 % de la resistencia de cálculo disponible o de la flecha admisible.

Dimensionado automático. La sección inicial de la viga se selecciona con una relación aproximada entre altura y anchura de h : b = 2 : 1. Las dimensiones se aumentan hasta que se cumplen todas las comprobaciones, tras lo cual se selecciona la sección mínima válida con las dimensiones redondeadas hacia arriba a milímetros enteros.

Si se modifica una de las dimensiones de la sección, la otra se vuelve a calcular como el valor mínimo que satisface de nuevo los requisitos de flexión, cortante y flecha. Por tanto, después de un ajuste manual, la relación final h/b no tiene que mantenerse igual a 2.

Comprobación determinante. La calculadora compara el aprovechamiento a flexión, a cortante y por flecha. La comprobación con el porcentaje de aprovechamiento más alto se identifica como determinante. También se indica la combinación de cargas que produce ese aprovechamiento máximo.

Normas europeas

Combinaciones de acciones. Los principios generales para combinar acciones permanentes y variables están relacionados con EN 1990 «Eurocódigo. Bases de cálculo de estructuras».

Sobrecarga de uso en cubiertas. La carga concentrada sobre la cubierta está relacionada con EN 1991-1-1 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras. Parte 1-1: Acciones generales. Pesos específicos, pesos propios y sobrecargas de uso en edificios».

Nieve. Las acciones de nieve se tratan en EN 1991-1-3 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras. Parte 1-3: Acciones generales. Cargas de nieve».

Viento. Las acciones del viento se tratan en EN 1991-1-4 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras. Parte 1-4: Acciones generales. Acciones del viento».

Madera. Las clases resistentes C16, C24 y C30 están relacionadas con EN 338 «Madera estructural. Clases resistentes». Las comprobaciones de resistencia y aptitud al servicio de elementos de madera siguen los principios de EN 1995-1-1 «Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación».

Los valores climáticos y algunos coeficientes pueden establecerse de forma diferente en el Anexo Nacional del país donde se encuentre el edificio. Para los cálculos de proyecto deben utilizarse los parámetros especificados en el Anexo Nacional aplicable.

FAQs

¿Por qué la sección de la viga suele estar determinada por la flecha y no por la resistencia?

Una viga de madera de gran altura puede tener suficiente resistencia a flexión mucho antes de cumplir el requisito de rigidez. La flecha adquiere especial importancia en luces mayores porque el momento de inercia depende de la altura de la sección elevada al cubo, mientras que la deformación aumenta rápidamente al crecer la luz.

¿Por qué reducir la separación entre vigas puede reducir la sección necesaria?

La carga superficial de la cubierta se distribuye entre las vigas adyacentes. Con una separación D menor, cada viga soporta una franja de cubierta más estrecha, por lo que disminuyen la carga lineal, el momento flector y la flecha. Esto puede permitir utilizar una sección menor.

¿Cómo debe introducirse una carga de viento negativa?

Un valor negativo representa succión alejándose de la superficie de la cubierta. La calculadora conserva el signo de la presión del viento y comprueba por separado el levantamiento, mientras que el peso permanente de la cubierta y el peso propio de la viga actúan en sentido contrario. Por tanto, una presión de viento negativa no debe introducirse como un valor absoluto positivo.

¿Por qué la longitud calculada de la viga inclinada es mayor que la longitud geométrica simple de la pendiente?

La longitud geométrica de la pendiente es la suma de la luz inclinada y del voladizo inclinado. La longitud necesaria de la viga también tiene en cuenta la altura calculada de la sección y los cortes verticales de los extremos mediante la adición de h · tan(α). Por ello, modificar la altura de la viga puede cambiar ligeramente la longitud total necesaria.

¿Por qué la sección calculada puede diferir de las dimensiones comerciales de la madera?

La calculadora estructural de techo determina la sección rectangular mínima exigida por el cálculo y redondea sus dimensiones a milímetros enteros, en lugar de adaptarlas a las dimensiones comerciales de madera de un país concreto. La sección calculada puede utilizarse como requisito mínimo y después seleccionarse la siguiente sección disponible de mayor tamaño.