Longitud de viga inclinada

Sobre el cálculo de la longitud de viga inclinada

Esta calculadora estructural de techo permite calcular la longitud de la viga inclinada y determinar sus dimensiones y cargas. El cálculo incluye la longitud de la viga, la pendiente del techo, el efecto de la separación entre vigas, las cargas de nieve, viento y permanentes, el momento flector, la deformación y las dimensiones necesarias de una sección rectangular de madera. El modelo estructural utiliza dos apoyos y un voladizo del techo, y permite estimar la sección necesaria y la resistencia de la viga según la geometría, el material y las cargas externas.

La sección de la viga se comprueba tanto por resistencia a flexión como por límite de deformación. Las combinaciones de cargas incluyen acciones permanentes, de nieve y de viento, mientras que las propiedades de la madera se basan en la clase de resistencia seleccionada C16, C24 o C30.

Valores orientativos y recomendaciones

Geometría del techo

Pendiente del techo. La distancia horizontal B se mide entre los ejes de los apoyos. La altura H es la diferencia vertical entre los niveles de apoyo de la viga inclinada. Si se especifica la altura, el ángulo del techo α se calcula a partir del triángulo rectángulo:

α = arctan(H / B)

Si se especifica el ángulo del techo en lugar de la altura, la altura se calcula mediante la relación inversa:

H = B · tan(α)

Luz y voladizo. La longitud de la viga entre los apoyos y la longitud del voladizo se calculan por separado. El voladizo horizontal S no afecta al ángulo del techo.

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

La longitud geométrica a lo largo de la pendiente del techo es la suma de estas dos partes:

Lg = Ls + Lo

Longitud necesaria de la pieza de madera. El resultado incluye no solo la longitud geométrica a lo largo de la pendiente, sino también la longitud adicional necesaria para los cortes verticales de los extremos. Una vez determinada la altura de la sección h, la longitud necesaria de la pieza se calcula como:

L = Lg + h · tan(α)

El incremento h · tan(α) tiene en cuenta la diferencia total entre los bordes superior e inferior de la viga causada por los dos cortes verticales de los extremos.

Carga de nieve

Carga de nieve característica. El valor de entrada S_g,k es la carga característica de nieve sobre el terreno obtenida de los datos nacionales de cálculo para la ubicación del proyecto. La calculadora la convierte en carga característica de nieve sobre el techo mediante el coeficiente de forma μ. En el modelo de cálculo, los coeficientes de exposición y térmico se toman ambos como 1.0.

Sr,k = μ · Sg,k

El coeficiente de forma depende de la pendiente del techo:

• para α ≤ 30°: μ = 0.8
• para 30° < α < 60°: μ = 0.8 · (60 − α) / 30
• para α ≥ 60°: μ = 0

Esta relación representa el caso de carga uniforme de nieve sobre un techo inclinado: el coeficiente permanece constante hasta 30° y después disminuye linealmente hasta cero a 60°.

Cargas permanentes y de viento

Carga permanente. La carga permanente característica G_k es la suma del peso de la cubierta seleccionada y de la carga permanente adicional de las demás capas del techo.

Gk = Groof + Gadd

Carga de viento. La carga característica de viento W_k especificada se utiliza en el modelo de cálculo como una carga que actúa perpendicularmente a la pendiente del techo. El valor de entrada debe obtenerse de los datos nacionales de cálculo correspondientes a la ubicación del proyecto.

Coeficientes de cálculo. Para el cálculo de resistencia en el estado límite último, la calculadora utiliza un coeficiente de 1.35 para las cargas permanentes y de 1.50 para las cargas variables de nieve y viento:

Gd = 1.35 · Gk

Sd = 1.50 · Sr,k

Wd = 1.50 · Wk

Combinaciones de cargas

Combinación de cargas más desfavorable. La nieve y el viento no se suman simplemente como dos cargas máximas que actúan simultáneamente. La calculadora comprueba dos combinaciones: nieve como acción variable principal y viento como acción variable principal. Para el viento acompañante se utiliza un coeficiente de combinación ψW = 0.60, y para la nieve acompañante ψS = 0.70.

Para la combinación con la nieve como acción principal:

pS = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Sr,k · cos2(α) + 1.50 · 0.60 · Wk

Para la combinación con el viento como acción principal:

pW = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Wk + 1.50 · 0.70 · Sr,k · cos2(α)

Para el cálculo posterior de resistencia se utiliza el valor mayor:

pULS = max(pS, pW)

Proyección de las cargas. La carga permanente debida al peso propio actúa verticalmente y se convierte en la componente que produce flexión en la viga mediante cos(α). La carga de nieve se especifica por unidad de proyección horizontal del techo, por lo que se utiliza cos2(α) al convertirla en la carga que flexiona la viga inclinada. En el modelo adoptado, la carga de viento ya se considera perpendicular a la pendiente del techo.

Carga lineal y carga sobre una viga

Carga lineal. La carga superficial de cálculo se convierte en una carga lineal uniformemente distribuida mediante la separación entre vigas D. Si p_ULS se expresa en kN/m² y D en milímetros:

q = pULS · D / 1000

El valor resultante q se expresa en kN/m. Para la conversión de unidades, la calculadora utiliza 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Área tributaria de una viga. Para el valor de referencia de la carga total sobre una viga se utiliza la longitud geométrica de la pendiente sin el incremento correspondiente a los cortes de los extremos:

A = Lg · D / 1 000 000

Aquí L_g y D se introducen en milímetros, y el área tributaria resultante A se expresa en m².

Momento flector

Modelo estructural. La viga inclinada se considera como una viga apoyada en dos puntos, con un voladizo a la izquierda y una carga uniformemente distribuida a lo largo de su longitud. El cálculo utiliza la luz inclinada entre apoyos L_s y la longitud inclinada del voladizo L_o.

El momento flector positivo dentro de la luz se calcula teniendo en cuenta la influencia del voladizo:

Ms = q · (Ls2 − Lo2)2 / (8 · Ls2)

Este valor se utiliza cuando Lo < Ls. El momento en el apoyo debido al voladizo es:

Mo = q · Lo2 / 2

Para dimensionar la sección se utiliza el mayor valor absoluto:

M = max(Ms, Mo)

Resistencia de la madera y dimensionamiento de la sección

Resistencia de cálculo a flexión. Para las clases resistentes de madera C16, C24 y C30 se toman resistencias características a flexión de 16, 24 y 30 N/mm², respectivamente. La calculadora aplica un coeficiente de modificación kmod = 0.70 y un coeficiente del material γM = 1.30.

fm,d = kmod · fm,k / γM

• C16: fm,d = 8.62 N/mm²
• C24: fm,d = 12.92 N/mm²
• C30: fm,d = 16.15 N/mm²

El módulo resistente necesario se determina a partir del momento flector máximo:

Wreq = M / fm,d

Para una sección rectangular:

W = b · h2 / 6

Si se especifica la relación r = h/b, la altura mínima de la sección necesaria por resistencia se calcula como:

h = (6 · Wreq · r)1/3

Si el ancho de la viga b se especifica directamente:

h = (6 · Wreq / b)1/2

Comprobación de la deformación

Módulo de elasticidad. Para el cálculo de la deformación se utilizan módulos medios de elasticidad de 8000 N/mm² para C16, 11000 N/mm² para C24 y 12000 N/mm² para C30.

Combinación de cargas de servicio. Los coeficientes 1.35 y 1.50 no se aplican en la comprobación de la deformación. Se comprueban dos combinaciones de cargas para el estado límite de servicio:

pSLS,S = Gk · cos(α) + Sr,k · cos2(α) + 0.60 · Wk

pSLS,W = Gk · cos(α) + Wk + 0.70 · Sr,k · cos2(α)

pSLS = max(pSLS,S, pSLS,W)

Deformación admisible. El límite se basa en la luz inclinada entre los apoyos. Con el coeficiente seleccionado k igual a 200, 250 o 300:

flim = Ls / k

Un denominador mayor implica un requisito de rigidez más estricto.

Deformación calculada. El segundo momento de área de la sección rectangular es:

I = b · h3 / 12

La deformación se calcula en toda la luz entre apoyos incluyendo la carga uniformemente distribuida sobre el voladizo. Para la coordenada x medida desde el apoyo izquierdo se utiliza la siguiente relación:

f(x) = q / (24 · E · I) · [−6 · Lo2 · x2 + 2 · (Ls2 + Lo2) · x3 / Ls − x4 − Ls · (Ls2 − 4 · Lo2) · x]

La deformación absoluta máxima se determina numéricamente a lo largo de la luz con un paso de Ls / 1000. Después de seleccionar una sección preliminar, se vuelve a calcular la deformación real. Si supera el valor admisible, la altura h se incrementa en pasos de 1 mm hasta que se cumpla f ≤ flim.

Cómo se selecciona la sección final

Dos condiciones independientes. La sección debe cumplir simultáneamente los requisitos de resistencia a flexión y de deformación. La altura mínima requerida por resistencia y la altura mínima requerida por rigidez se calculan por separado, y se selecciona el valor mayor.

Si se especifica una relación h/b, el ancho se calcula a partir de esa relación y ambas dimensiones se redondean hacia arriba. Si el ancho se especifica directamente, permanece fijo mientras la altura se incrementa hasta que se cumplan ambas condiciones. Las dimensiones finales de la sección se redondean hacia arriba a milímetros enteros.

Valores prácticos orientativos

Separación entre vigas. En cubiertas de edificios de poca altura se utilizan con frecuencia separaciones de aproximadamente 600-900 mm, aunque el valor real depende de la luz, las cargas, la composición del techo y la sección seleccionada.

Proporciones de la sección. Para vigas rectangulares de madera son habituales relaciones h/b de aproximadamente 1.5 a 3. Cuando la deformación es la condición determinante, aumentar la altura suele ser mucho más eficaz que aumentar el ancho, ya que el segundo momento de área depende de h³.

Cargas climáticas. Los valores característicos de carga de nieve sobre el terreno y de carga de viento deben obtenerse para la ubicación concreta del proyecto a partir de los datos nacionales de cálculo y de los Anexos Nacionales correspondientes de los Eurocódigos.

Normas europeas

El modelo de cálculo y la notación siguen el enfoque europeo general de cálculo estructural. Las combinaciones de acciones se relacionan con EN 1990 «Eurocódigo: Bases de cálculo de estructuras». Las acciones de nieve se tratan en EN 1991-1-3 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras. Parte 1-3: Acciones generales. Cargas de nieve», mientras que las acciones de viento se tratan en EN 1991-1-4 «Eurocódigo 1: Acciones en estructuras. Parte 1-4: Acciones generales. Acciones de viento».

Las clases resistentes C16, C24 y C30 se relacionan con EN 338 «Madera estructural. Clases resistentes». Las propiedades de cálculo de los elementos de madera y las comprobaciones de resistencia y servicio se relacionan con EN 1995-1-1 «Eurocódigo 5: Proyecto de estructuras de madera. Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación». Los Anexos Nacionales pueden definir datos climáticos diferentes y otros parámetros determinados a nivel nacional.

FAQs

¿Por qué el voladizo S no afecta al ángulo del techo?

La pendiente del techo está definida por el triángulo entre los dos apoyos, por lo que depende de la luz horizontal B y de la altura H. El voladizo S es una prolongación de la viga ya inclinada más allá del apoyo izquierdo. Modificar el voladizo aumenta la longitud de la viga y el momento del voladizo, pero no cambia el ángulo del techo.

¿Por qué la longitud necesaria de la viga es mayor que la longitud geométrica de la pendiente?

La longitud geométrica se calcula a partir de la luz entre apoyos y del voladizo a lo largo de la pendiente. Después de determinar la altura de la sección, la calculadora también tiene en cuenta los cortes verticales de los extremos, que requieren una longitud adicional de h · tan(α). Por tanto, la longitud necesaria de la pieza depende tanto de la geometría del techo como de la altura calculada de la sección.

¿Por qué la carga total de cálculo no es simplemente la suma de nieve, viento y cargas permanentes?

La nieve y el viento son acciones variables, por lo que la calculadora comprueba combinaciones independientes con la nieve como acción principal y con el viento como acción principal. La acción acompañante se reduce mediante un coeficiente de combinación ψ, mientras que las cargas verticales también se transforman según la pendiente del techo. Para el cálculo estructural se utiliza la combinación más desfavorable.

¿Cómo influye la pendiente del techo en la sección necesaria de la viga?

Al aumentar el ángulo del techo cambian la luz inclinada entre apoyos y la transformación de las cargas permanentes y de nieve. Por encima de 30° también comienza a disminuir el coeficiente de forma de la nieve μ, que alcanza cero a 60° en el modelo de cálculo adoptado. Por ello, un cambio de pendiente puede afectar simultáneamente a la carga, al momento flector y a la deformación.

¿Por qué C16, C24 y C30 producen secciones diferentes?

Estas clases resistentes de madera tienen diferentes resistencias características a flexión y diferentes módulos de elasticidad. Una mayor resistencia a flexión reduce el módulo resistente necesario, mientras que un módulo de elasticidad mayor reduce la deformación para las mismas dimensiones de la sección. El tamaño final queda determinado por la condición que requiera la sección mayor: resistencia o rigidez.