Beregn fagverk i tre og stål

Om beregning av fagverk

Denne kalkulatoren beregner fagverk i tre og stål for tak, overbygg og andre bærende fagverkskonstruksjoner. På grunnlag av angitt geometri og last beregner den indre aksialkrefter i stavene, velger tverrsnitt fra innebygde dimensjonsserier, kontrollerer strekk, trykk og stabilitet, tar hensyn til egenvekt og beregner nedbøyningen i fagverket. Stål- og treelementer beregnes separat med hensyn til egenskapene til valgt materiale, stavlengdene og sideavstivningen av over- og underkorden ut av fagverkets plan.

Veiledende verdier og anbefalinger

Beregningsmodell og lastfordeling

Fagverksmodell. Fagverket behandles som et todimensjonalt leddforbundet stavsystem. Hver stav tar opp aksial strekk- eller trykkraft, og den geometriske lengden settes lik avstanden mellom sentrene i tilstøtende knutepunkter. Venstre opplegg hindrer både horisontal og vertikal forskyvning, mens høyre opplegg hindrer vertikal forskyvning og tillater horisontal bevegelse.

Knutelast. Den vertikale lasten påføres knutepunktene i overkorden. Hvert belastet indre knutepunkt får full knutelast P, mens de to endeknutene i overkorden får P / 2 hver. Denne fordelingen gjør at den totale påførte lasten tilsvarer lasten over hele fagverkets spenn.

Flatelast. Hvis inngangslasten er angitt som q i kN/m² eller kg/m², beregnes først den totale lasten som bæres av ett fagverk:

Q = q · L · s

Her er L fagverkets spenn i meter og s avstanden mellom tilstøtende fagverk i meter. Hvis overkorden er delt inn i n felt, blir full knutelast for de indre knutepunktene:

P = Q / n

Endeknutene får P / 2 hver. Når lasten angis i kilogramkraft, brukes omregningen 1 kN = 101,9716 kgf; de interne kraftberegningene utføres i kN.

Oppleggsreaksjoner, stavkrefter og egenvekt

Likevekt i fagverket. For hvert knutepunkt settes det opp likevektsligninger i horisontal og vertikal retning. Løsningen av hele ligningssystemet gir oppleggsreaksjonene og aksialkraften N i hver stav. Positiv kraft behandles som strekk og negativ kraft som trykk.

Egenvekt. Etter et foreløpig valg av tverrsnitt beregnes massen til hver stav ut fra tverrsnittsarealet, den faktiske lengden og materialets tetthet. Vekten omregnes til kraft med g = 9,80665 m/s2 og fordeles likt mellom stavens to knutepunkter. Deretter beregnes stavkrefter og tverrsnitt på nytt, slik at den økte vekten av større tverrsnitt tas med i neste beregningssyklus.

Valg av tverrsnitt. For hver belastet stav kontrollerer kalkulatoren tilgjengelige dimensjoner av valgt tverrsnittstype i stigende rekkefølge og velger det første tverrsnittet som oppfyller kravene til bæreevne og, for trykkstaver, stabilitet. En stav med praktisk talt null beregnet kraft får et tverrsnitt som ikke er mindre enn det minste tverrsnittet som brukes for belastede staver i tilsvarende gruppe og materiale.

Reserve i bæreevne. Etter kontrollen beregnes utnyttelsesgraden η, der η = 1 tilsvarer dimensjoneringsgrensen. Reserven i prosent beregnes som:

Reserve = (1 / η - 1) · 100%

For eksempel tilsvarer η = 0,80 en reserve på 25 %. For ubelastede staver vises ingen numerisk reserve.

Beregning av stålelementer

Elastisitetsmodul. Deformasjon av stål beregnes med E = 210000 MPa. For stålkvalitetene S235, S275, S355 og S420 avhenger flytegrensen som brukes i beregningen av vegg- eller flenstykkelsen i profilet.

• for tykkelser til og med 16 mm: S235 - 235 MPa, S275 - 275 MPa, S355 - 355 MPa, S420 - 420 MPa;
• for tykkelser over 16 mm og opptil 40 mm: henholdsvis 225, 265, 345 og 400 MPa;
• for tykkelser over 40 mm: henholdsvis 215, 255, 335 og 390 MPa.

Strekk. For en strekkstav beregnes utnyttelsesgraden ut fra aksialkraften og kapasiteten til hele tverrsnittet:

η = N / (A · fy)

Her angis N i N, A er tverrsnittsarealet i mm², og f_y er flytegrensen i MPa. Kravet er oppfylt når η ≤ 1.

Trykk og global stabilitet. Først beregnes slankheten i begge hovedretninger:

λ = Leff / i

Deretter beregnes relativ slankhet for hver retning:

λrel = λ / π · √(fy / E)

Imperfeksjonsfaktoren settes til α = 0,49 for kvadratiske og rektangulære hulprofiler og runde rør, og til α = 0,76 for enkle vinkelprofiler og U-profiler. Reduksjonsfaktoren for stabilitet beregnes som:

Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]

χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Beregningen utføres i begge retninger, og den minste verdien av χ brukes. Kontroll av trykkstaven utføres som:

η = N / (χ · A · fy) ≤ 1

Lokal stabilitet for ståltverrsnitt. Før kontroll av global knekking kontrolleres forholdet mellom bredde eller diameter og tykkelse for trykkstaver. Beregningen bruker ε = √(235 / fy). For kvadratiske og rektangulære hulprofiler gjelder (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε, for runde rør D / t ≤ 90ε2, og for vinkelprofiler a / t ≤ 14ε. For U-profiler kontrolleres steget mot 42ε og den utkragede delen av flensen mot 14ε.

Beregning av treelementer

Dimensjonerende egenskaper for tre. Kalkulatoren bruker fasthetsklassene C16, C24 og C30. Følgende verdier for strekkfasthet, trykkfasthet, elastisitetsmodul og gjennomsnittlig densitet brukes:

• C16: f_t = 10 MPa, f_c = 17 MPa, E_0,05 = 5400 MPa, E_mean = 8000 MPa, densitet 370 kg/m³;
• C24: f_t = 14,5 MPa, f_c = 21 MPa, E_0,05 = 7400 MPa, E_mean = 11000 MPa, densitet 420 kg/m³;
• C30: f_t = 18 MPa, f_c = 23 MPa, E_0,05 = 8000 MPa, E_mean = 12000 MPa, densitet 460 kg/m³.

Faktorer for tre. Fasthetskontrollen bruker modifikasjonsfaktoren kmod = 0,60 og materialfaktoren γM = 1,30. Den grunnleggende dimensjonerende fastheten fås derfor ved å multiplisere den karakteristiske fastheten med 0,60 / 1,30.

Strekk i tre. For elementer der største tverrsnittsdimensjon h er mindre enn 150 mm, brukes i tillegg en størrelsesfaktor:

kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]

For h på 150 mm eller mer brukes kh = 1. Strekkontrollen er:

η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]

Trykk i tre. For hver retning beregnes først den geometriske slankheten λ, deretter den relative slankheten:

λrel = λ / π · √(fc / E0,05)

Når λrel ≤ 0,30, brukes kc = 1. For større slankhet:

Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]

kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Den minste verdien av k_c fra de to retningene brukes. Den endelige kontrollen av en trykkstav i tre er:

η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1

Avstivning og effektiv lengde

I fagverkets plan. Den effektive lengden som brukes ved beregning av slankhet, settes lik hele den geometriske stavlengden mellom tilstøtende knutepunkter. Når en kord deles av fagverksknuter, deles den derfor samtidig i separate beregningsstaver i fagverkets plan.

Ut av fagverkets plan. For over- og underkorden bestemmes den effektive lengden av avstivningen. Når avstand mellom avstivningspunktene angis, brukes den innskrevne verdien i millimeter direkte som L_y,eff. Når enkelte avstivede knutepunkter velges, finner kalkulatoren den største avstanden mellom tilstøtende punkter med sideavstivning på den aktuelle korden. For diagonaler og vertikalstaver settes den effektive lengden ut av planet lik hele stavlengden.

Orientering av rektangulære tverrsnitt. For rektangulære hulprofiler og rektangulære treelementer antas den største tverrsnittsdimensjonen å ligge i fagverkets plan og den minste ut av planet. Stabilitet ut av planet kan derfor bli dimensjonerende selv når slankheten i planet er relativt lav.

Praktisk veiledning. Et avstivningspunkt bør bare regnes som effektivt når det tilknyttede elementet eller knutepunktet faktisk hindrer sideveis bevegelse av korden. Overkorden avstives ofte med åser, lekter eller et eget avstivningssystem, mens underkorden kan avstives med forbindelser mellom fagverk eller andre elementer som gir reell sideveis støtte.

Beregning av nedbøyning og valg av tverrsnitt etter stivhet

Elastisk nedbøyning. Etter valg av tverrsnitt bygger kalkulatoren opp stivhetsmatrisen for hele fagverket. Den aksiale stivheten til hver stav bestemmes som E · A / L. Horisontale og vertikale forskyvninger for alle knutepunkter beregnes, og den største absolutte vertikale forskyvningen brukes som beregnet nedbøyning for fagverket.

Elastisitetsmodul. Nedbøyning for stål beregnes med E = 210000 MPa. For tre brukes de gjennomsnittlige elastisitetsmodulene E_mean: 8000 MPa for C16, 11000 MPa for C24 og 12000 MPa for C30.

Korreksjon for faktisk konstruksjonsfleksibilitet. En idealisert leddforbundet fagverksmodell tar bare hensyn til aksiale deformasjoner i stavene og gir vanligvis mindre nedbøyning enn den virkelige konstruksjonen. Den beregnede elastiske nedbøyningen multipliseres derfor med en intern korreksjonsfaktor på 1,15 for stålfagverk og 1,50 for trefagverk. Dette er konservative antakelser i kalkulatoren og ikke dimensjoneringsfaktorer fra Eurokodene.

Nedbøyningsgrense. Valgt stivhetsnivå bestemmer maksimal tillatt nedbøyning:

flim = L / 200, L / 250 eller L / 300

En større nevner betyr mindre tillatt nedbøyning. I kalkulatoren brukes L/200 som normalt stivhetsnivå, L/250 som økt nivå og L/300 som det stiveste alternativet.

Automatisk økning av tverrsnitt. Hvis nedbøyningen overstiger valgt grense etter kontroll av bæreevne og stabilitet, øker kalkulatoren målarealet for tverrsnittet til de belastede stavene. I hver syklus brukes følgende faktor:

kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]

Etter at tverrsnittene er økt, beregnes egenvekt, stavkrefter, bæreevne, stabilitet og nedbøyning på nytt. Det utføres opptil 12 sykluser. Når neste tverrsnitt velges, må det også oppfylle kravene til bæreevne og stabilitet.

Masse og europeisk beregningsgrunnlag

Fagverkets masse. Massen til hver stav beregnes med m = A · L · ρ, der A omregnes til m², L er stavlengden i meter og ρ er densiteten i kg/m³. For stål brukes en densitet på 7850 kg/m³. For tre brukes henholdsvis 370, 420 eller 460 kg/m³ for C16, C24 og C30. Fagverkets totale masse er summen av massen til alle beregnede staver.

Europeiske standarder. Beregningslogikken følger prinsipper knyttet til EN 1990 «Eurokode - Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner» og EN 1991 «Eurokode 1 - Laster på konstruksjoner». Kontrollen av stålelementer bruker metoder fra EN 1993-1-1 «Eurokode 3 - Prosjektering av stålkonstruksjoner - Del 1-1: Generelle regler og regler for bygninger». For treelementer brukes metoder fra EN 1995-1-1 «Eurokode 5 - Prosjektering av trekonstruksjoner - Del 1-1: Allment - Generelle regler og regler for bygninger», mens fasthetsklassene C16, C24 og C30 følger EN 338 «Konstruksjonsvirke - Fasthetsklasser».

Vanlige spørsmål

Hvorfor kan mindre avstand mellom avstivningene redusere nødvendig tverrsnitt betydelig?

Avstanden mellom avstivningene bestemmer kordens effektive lengde ut av fagverkets plan. Kortere effektiv lengde reduserer slankheten, øker stabilitetsfaktoren og kan gjøre det mulig å ta opp samme trykkraft med et mindre tverrsnitt. Effekten er særlig tydelig for rektangulære tverrsnitt med relativt liten stivhet om den svake aksen.

Hvorfor vises en strek i kolonnen «Stabilitet» for enkelte staver?

Knekkstabilitet kontrolleres for trykkstaver. En strekkstav kontrolleres for strekkapasiteten til hele tverrsnittet, og derfor vises en strek for stabilitet. For en trykkstav betyr OK at den valgte stabilitetskontrollen er oppfylt, mens NO betyr at den ikke er oppfylt.

Hvorfor gir høyere fasthetsklasse for stål eller tre ikke alltid et vesentlig mindre tverrsnitt?

Nødvendig tverrsnitt bestemmes ikke bare av materialfastheten. For trykkstaver kan slankhet og stabilitet være dimensjonerende, mens nedbøyningen også kan styre dimensjoneringen av hele fagverket. Høyere materialfasthet gjør derfor ikke alltid at neste mindre tverrsnitt kan brukes.

Hvordan skiller den viste reserven i bæreevne seg fra en sikkerhetsfaktor?

Den viste prosentverdien beregnes fra den faktiske utnyttelsesgraden til valgt tverrsnitt. For eksempel gir en utnyttelse på 80 % en reserve på 25 % etter den valgte kontrollen. Dette er den gjenværende beregnede kapasiteten til valgt element, ikke en fast sikkerhetsfaktor som legges til lasten på forhånd.

Hvorfor kan beregnet nedbøyning for fagverket være mye mindre enn L/250?

Et fagverk bærer lasten hovedsakelig gjennom aksial strekk og trykk i stavene, slik at en konstruksjon med tilstrekkelig høyde kan få relativt liten elastisk nedbøyning. Kalkulatoren multipliserer i tillegg den idealiserte nedbøyningen med 1,15 for stål og 1,50 for tre, og dersom valgt nedbøyningsgrense overskrides, økes stavtverrsnittene automatisk og fagverket beregnes på nytt.