Beregn taksperrer for skråtak

Om beregning av taksperre for skråtak

Denne kalkulatoren for taksperrer i skråtak beregner lengde, dimensjoner og belastning for en taksperre i tre med to opplager og et utkraget takutstikk. Den bestemmer sperrelengde, belastninger, bøyemoment, skjærkraft, nedbøyning og minste rektangulære tverrsnitt for trevirke i fasthetsklassene C16, C24 og C30.

Ved dimensjonering av taksperren kontrolleres samtidig bøyefasthet, skjærfasthet og endelig nedbøyning. Beregningen omfatter permanent taklast, sperrens egenvekt, snø, vind og en separat konsentrert vedlikeholdslast på taket.

Veiledende verdier og anbefalinger

Geometri for taksperren

Takvinkel. Den horisontale avstanden B måles mellom opplagene, mens H er den vertikale høydeforskjellen mellom dem. Når høyden er kjent, beregnes takvinkelen som:

α = arctan(H / B)

Hvis vinkelen α er angitt, beregnes høyden med den omvendte sammenhengen:

H = B · tan(α)

Spenn og takutstikk. Det horisontale takutstikket S endrer ikke takvinkelen. Lengden mellom opplagene L_s og lengden på det utkragede takutstikket L_o måles langs taksperren:

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Nødvendig sperrelengde. Etter at tverrsnittshøyden h er bestemt, tar kalkulatoren med den ekstra lengden som er nødvendig for vertikale endekutt. Den endelige lengden på taksperren beregnes som:

L = Ls + Lo + h · tan(α)

Permanent last og egenvekt

Permanent last. Denne omfatter vekten av valgt taktekking, ekstra permanent last fra de øvrige taklagene og taksperrens egenvekt. Den ekstra lasten kan omfatte lekter, sløyfer, isolasjon, innvendig kledning og andre permanent festede komponenter.

Taksperrens egenvekt. Den beregnes automatisk for hvert tverrsnitt som kontrolleres. Det brukes tretettheter på 370 kg/m³ for C16, 420 kg/m³ for C24 og 460 kg/m³ for C30.

For tverrsnittsbredde b, tverrsnittshøyde h og sperreavstand D angitt i mm beregnes taksperrens egenvekt omregnet til takareal som:

gself = ρ · b · h / (1000 · D)

Fordi egenvekten avhenger av tverrsnittets størrelse, beregnes den på nytt for hver dimensjon som kontrolleres og tas med i det endelige valget av tverrsnitt.

Snølast

Snølast på bakken. Den angitte verdien behandles som den karakteristiske snølasten på bakken for bygningens plassering. Kalkulatoren omregner denne til snølast på taket ved hjelp av formfaktoren μ.

• for α ≤ 30° brukes μ = 0.8
• for 30° < α < 60° brukes μ = 0.8 · (60 - α) / 30
• for α ≥ 60° brukes μ = 0

Den karakteristiske snølasten på takflaten beregnes som:

Sk = μ · Sg,k

Kombinasjonsfaktor. For snø brukes den angitte kombinasjonsfaktoren ψ_0,S. En vanlig verdi er 0.5. For Finland, Island, Norge og Sverige, samt for andre CEN-land i høyder over 1000 m, brukes verdien 0.7 dersom det nasjonale tillegget ikke angir en annen verdi.

Vindlast

Trykk på takflaten. Inndata er det karakteristiske vindtrykket som allerede er bestemt for den aktuelle takflaten, med hensyn til byggehøyde, terreng og aerodynamiske koeffisienter. En positiv verdi betyr trykk mot takflaten, mens en negativ verdi betyr vindsug.

Vindtrykket regnes som virkende normalt på takflaten. Det gjøres derfor ingen ytterligere omregning ved hjelp av takvinkelen.

Omregning fra flatebelastning til belastning på taksperren

Sperreavstand. Flatebelastninger omregnes til linjelaster ved hjelp av sperreavstanden D. Vertikale permanente laster multipliseres i tillegg med cos(α), mens snølast definert på den horisontale projeksjonen får faktoren cos2(α) når den omregnes til last på den skrå taksperren.

Hvis belastningene oppgis i kg/m², brukes tyngdeakselerasjonen g = 9.81 m/s² for omregning til kraftenheter. Omregningsforholdet settes til 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

De karakteristiske linjelastene på taksperren beregnes som:

qG = Gk · g · D · cos(α) / 106

qS = Sk · g · D · cos2(α) / 106

qW = Wk · g · D / 106

Når dimensjonene angis i mm, uttrykkes den resulterende numeriske verdien i N/mm, som numerisk er lik kN/m.

Lastkombinasjoner for styrkekontroll

Partialkoeffisienter. For ugunstige permanente laster brukes γG = 1.35, mens γQ = 1.50 brukes for snø, vind og konsentrerte variable laster.

Ved positivt vindtrykk kontrolleres følgende kombinasjoner av fordelte laster:

• 1.35 · qG
• 1.35 · qG + 1.50 · qS
• 1.35 · qG + 1.50 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qS + 1.50 · 0.60 · qW
• 1.35 · qG + 1.50 · qW + 1.50 · ψ0,S · qS

Kombinasjonsfaktoren for medfølgende vind settes til ψ0,W = 0.60. For medfølgende snø brukes den angitte verdien ψ_0,S.

Vindsug. Hvis vindlasten er negativ, kontrollerer kalkulatoren følgende kombinasjon separat:

qG + 1.50 · qW

I dette tilfellet virker egenvekten og de øvrige permanente lastene mot vindens oppadrettede virkning, og de tas derfor med uten den økende faktoren 1.35.

Konsentrert last

Vedlikeholdslast på taket. Den vertikale konsentrerte lasten kontrolleres separat fra snø og vind. For tak i kategori H anbefaler EN 1991-1-1 en karakteristisk verdi på 1.0 kN, dersom det nasjonale tillegget ikke angir en annen verdi.

Den vertikale kraften omregnes til komponenten som bøyer den skrå taksperren:

P = Pk · cos(α)

For styrkekontrollen kombineres permanent last og konsentrert last med faktorene 1.35 og 1.50. Lastens plassering kontrolleres langs taksperren, og det mest ugunstige bøyemomentet og den mest ugunstige skjærkraften brukes i beregningen.

Bøyemoment og utkraget takutstikk

Konstruksjonsmodell. Taksperren behandles som en bjelke på to opplager med ett utkraget takutstikk. Den jevnt fordelte lasten virker både på spennet mellom opplagene og på takutstikket.

For et spenn L_s og en utkraget lengde L_o beregnes det positive bøyemomentet i spennet som:

Mspan = q · (Ls2 - Lo2)2 / (8 · Ls2)

Det negative bøyemomentet ved opplageret som skyldes det belastede takutstikket, beregnes som:

Moverhang = q · Lo2 / 2

Den største absolutte verdien av bøyemomentet brukes ved kontroll av tverrsnittet. Maksimal skjærkraft bestemmes tilsvarende i de kritiske snittene ved opplagene og langs den utkragede delen.

Treegenskaper og dimensjonerende fasthet

Fasthetsklasser for tre. For C16, C24 og C30 brukes følgende egenskaper:

• C16: fm,k = 16 N/mm², fv,k = 3.2 N/mm², E = 8000 N/mm²
• C24: fm,k = 24 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 11000 N/mm²
• C30: fm,k = 30 N/mm², fv,k = 4.0 N/mm², E = 12000 N/mm²

Bruksforhold. For taksperrene forutsettes klimaklasse 2. Materialfaktoren settes til γM = 1.30.

Modifikasjonsfaktoren k_mod avhenger av det dimensjonerende lasttilfellet. Beregningen bruker 0.60 for permanent last, 0.80 for snølast, 0.90 for den konsentrerte vedlikeholdslasten og 1.10 for kombinasjoner som styres av vindlast.

Den dimensjonerende fastheten til trevirket beregnes som:

fd = kmod · fk / γM

Kontroll av bøying og skjær

Bøying. For et rektangulært tverrsnitt med bredde b og høyde h er motstandsmomentet:

W = b · h2 / 6

Den dimensjonerende bøyespenningen beregnes som σm = M / W og sammenlignes med den dimensjonerende bøyefastheten f_m,d.

Skjær. For et rektangulært tverrsnitt beregnes den dimensjonerende skjærspenningen fra maksimal skjærkraft V:

τ = 1.5 · V / (kcr · b · h)

For det effektive arealet ved skjærkontrollen brukes faktoren kcr = 0.67. Den beregnede spenningen sammenlignes med den dimensjonerende skjærfastheten f_v,d.

Nedbøyning og langtidsdeformasjon i tre

Arealmoment. Stivheten til et rektangulært tverrsnitt bestemmes fra:

I = b · h3 / 12

Nedbøyningen beregnes fra den elastiske linjen til en bjelke med to opplager og ett utkraget takutstikk. For hver lastkombinasjon bestemmes maksimal absolutt nedbøyning innenfor spennet.

Langtidsdeformasjon. For klimaklasse 2 settes krypfaktoren til kdef = 0.80. Den permanente lastkomponenten i den endelige nedbøyningen multipliseres derfor med 1 + kdef = 1.80.

For snøkomponenten bruker kalkulatoren ψ_2,S lik 0 når ψ0,S < 0.65 og 0.20 når ψ0,S ≥ 0.65.

For en kombinasjon som styres av snø, er den endelige lasten som brukes ved kontroll av nedbøyning:

qfin,S = qG · (1 + kdef) + qS · (1 + ψ2,S · kdef) + 0.60 · qW

Det siste leddet tas bare med ved positivt vindtrykk.

For en kombinasjon som styres av positivt vindtrykk brukes følgende uttrykk:

qfin,W = qG · (1 + kdef) + qW + qS · (ψ0,S + ψ2,S · kdef)

Ved vindsug kontrolleres kombinasjonen av permanent last og negativ vindlast. For den konsentrerte vedlikeholdslasten kontrolleres den endelige nedbøyningen fra permanent last og den mest ugunstige plasseringen av vedlikeholdskraften separat.

Tillatt nedbøyning. Grenseverdien defineres i forhold til spennet mellom opplagene:

flim = Ls / n

Kalkulatoren tilbyr verdiene n = 200, 250 og 300. En større nevner betyr mindre tillatt nedbøyning og krever derfor et stivere sperretverrsnitt.

Endelig valg av sperredimensjon

Tre vilkår. Et tverrsnitt regnes bare som tilstrekkelig når alle tre kravene er oppfylt samtidig: utnyttelsen ved bøying overstiger ikke 100 %, utnyttelsen ved skjær overstiger ikke 100 %, og utnyttelsen for nedbøyning overstiger ikke 100 %.

Utnyttelsen uttrykker forholdet mellom beregnet påvirkning og tillatt verdi. For eksempel betyr 85 % at omtrent 85 % av tilgjengelig dimensjonerende motstand eller tillatt nedbøyning brukes i den aktuelle kontrollen.

Automatisk dimensjonering. Det første sperretverrsnittet velges med et omtrentlig forhold mellom høyde og bredde på h : b = 2 : 1. Dimensjonene økes til alle kontroller er tilfredsstilt, og deretter velges det minste godkjente tverrsnittet med dimensjoner avrundet opp til hele millimeter.

Hvis én dimensjon i tverrsnittet endres, beregnes den andre på nytt som den minste verdien som igjen tilfredsstiller kravene til bøying, skjær og nedbøyning. Etter en manuell justering trenger derfor ikke det endelige forholdet h/b å være lik 2.

Dimensjonerende kontroll. Kalkulatoren sammenligner utnyttelsen ved bøying, skjær og nedbøyning. Kontrollen med høyest utnyttelsesgrad angis som dimensjonerende. Lastkombinasjonen som gir denne maksimale utnyttelsen, vises også.

Europeiske standarder

Lastkombinasjoner. De generelle prinsippene for kombinasjon av permanente og variable påvirkninger er knyttet til EN 1990 «Eurokode - Grunnlag for prosjektering av konstruksjoner».

Nyttelast på tak. Den konsentrerte taklasten er knyttet til EN 1991-1-1 «Eurokode 1: Laster på konstruksjoner - Del 1-1: Allmenne laster - Tetthet, egenvekt og nyttelaster i bygninger».

Snø. Snølaster behandles i EN 1991-1-3 «Eurokode 1: Laster på konstruksjoner - Del 1-3: Allmenne laster - Snølaster».

Vind. Vindlaster behandles i EN 1991-1-4 «Eurokode 1: Laster på konstruksjoner - Del 1-4: Allmenne laster - Vindlaster».

Tre. Fasthetsklassene C16, C24 og C30 er knyttet til EN 338 «Konstruksjonsvirke - Fasthetsklasser». Kontroller av styrke og brukbarhet for trekonstruksjoner følger prinsippene i EN 1995-1-1 «Eurokode 5: Prosjektering av trekonstruksjoner - Del 1-1: Allmenne regler og regler for bygninger».

Klimatiske verdier og enkelte koeffisienter kan være angitt annerledes i det nasjonale tillegget for landet der bygningen ligger. Ved dimensjonerende beregninger bør parameterne i det gjeldende nasjonale tillegget brukes.

FAQs

Hvorfor bestemmes dimensjonen på taksperren ofte av nedbøyning og ikke av styrke?

En høy taksperre i tre kan ha tilstrekkelig bøyefasthet lenge før kravet til stivhet er oppfylt. Nedbøyning blir spesielt viktig ved større spenn fordi arealmomentet avhenger av tverrsnittshøyden i tredje potens, mens deformasjonen øker raskt når spennet blir større.

Hvorfor kan mindre sperreavstand redusere nødvendig sperredimensjon?

Takets flatebelastning fordeles mellom nabosperrene. Med mindre avstand D bærer hver taksperre en smalere stripe av taket, slik at linjelast, bøyemoment og nedbøyning reduseres. Dette kan gjøre det mulig å bruke et mindre tverrsnitt.

Hvordan skal en negativ vindlast angis?

En negativ verdi betyr sug bort fra takflaten. Kalkulatoren beholder fortegnet på vindtrykket og kontrollerer oppadrettet virkning separat, mens den permanente takvekten og taksperrens egenvekt virker i motsatt retning. En negativ vindlast skal derfor ikke angis som en positiv absoluttverdi.

Hvorfor er den beregnede sperrelengden større enn den enkle lengden på takflaten?

Den geometriske lengden på takflaten er summen av det skrå spennet og det skrå takutstikket. Den nødvendige sperrelengden tar i tillegg hensyn til den beregnede tverrsnittshøyden og vertikale endekutt ved å legge til h · tan(α). En endring i sperrehøyden kan derfor endre den nødvendige totallengden noe.

Hvorfor kan den beregnede sperredimensjonen avvike fra standard dimensjoner på trelast?

Kalkulatoren for taksperrer i skråtak bestemmer det minste rektangulære tverrsnittet som kreves av beregningen og avrunder dimensjonene til hele millimeter, i stedet for til handelsdimensjoner for trelast i et bestemt land. Den beregnede dimensjonen kan brukes som et minimumskrav, og deretter kan nærmeste større tilgjengelige trelastdimensjon velges.