Beräkna takstolar

Metod för beräkning av takstolar

Den här kalkylatorn för att beräkna takstolar fokuserar på en enskild taksparre och beräknar dess längd, lutning, avstånd, belastning och nödvändiga dimensioner. Beräkningen omfattar sparrlängd, inverkan av sparravstånd, snölast, vindlast och permanenta laster, böjmoment, nedböjning och erforderliga mått för ett rektangulärt trätvärsnitt. Den statiska modellen har två upplag och ett utkragande takutsprång och kan användas för att uppskatta sparrens erforderliga dimension och bärförmåga.

Sparrens tvärsnitt kontrolleras både med avseende på böjhållfasthet och tillåten nedböjning. Lastkombinationerna omfattar permanenta laster, snö och vind, medan träets egenskaper baseras på vald hållfasthetsklass C16, C24 eller C30.

Riktvärden och rekommendationer

Takets geometri

Taklutning. Det horisontella avståndet B mäts mellan upplagens axlar. Höjden H är den vertikala nivåskillnaden mellan sparrens upplag. Om höjden anges beräknas takvinkeln α från den rätvinkliga triangeln:

α = arctan(H / B)

Om takvinkeln anges i stället för höjden beräknas takhöjden med den omvända relationen:

H = B · tan(α)

Spännvidd och takutsprång. Sparrens längd mellan upplagen och längden på det utkragande takutsprånget beräknas separat. Det horisontella utsprånget S påverkar inte takvinkeln.

Ls = B / cos(α)

Lo = S / cos(α)

Den geometriska längden längs takfallet är summan av dessa två delar:

Lg = Ls + Lo

Nödvändig ämneslängd för sparren. Resultatet omfattar inte bara den geometriska längden längs takfallet utan även den extra längd som krävs för vertikala ändsnitt. När sparrens höjd h har bestämts beräknas den nödvändiga ämneslängden som:

L = Lg + h · tan(α)

Tillägget h · tan(α) tar hänsyn till den totala längdskillnaden mellan sparrens övre och undre kant som orsakas av de två vertikala ändsnitten.

Snölast

Karakteristisk snölast. Inmatningsvärdet S_g,k är den karakteristiska snölasten på mark enligt nationella dimensioneringsdata för projektets plats. Kalkylatorn omvandlar den till karakteristisk snölast på taket med hjälp av formfaktorn μ. Exponeringsfaktorn och den termiska faktorn sätts båda till 1.0 i beräkningsmodellen.

Sr,k = μ · Sg,k

Formfaktorn beror på taklutningen:

• för α ≤ 30°: μ = 0.8
• för 30° < α < 60°: μ = 0.8 · (60 − α) / 30
• för α ≥ 60°: μ = 0

Detta samband motsvarar fallet med jämnt fördelad snölast på ett lutande tak: faktorn är konstant upp till 30° och minskar därefter linjärt till noll vid 60°.

Permanenta laster och vindlast

Permanent last. Den karakteristiska permanenta lasten G_k är summan av vikten från vald taktäckning och den extra permanenta lasten från övriga taklager.

Gk = Groof + Gadd

Vindlast. Den angivna karakteristiska vindlasten W_k används i beräkningsmodellen som en last som verkar vinkelrätt mot takytan. Inmatningsvärdet bör hämtas från nationella dimensioneringsdata för projektets plats.

Dimensioneringsfaktorer. För hållfasthetsberäkning i brottgränstillstånd använder kalkylatorn faktorn 1.35 för permanenta laster och 1.50 för variabla snö- och vindlaster:

Gd = 1.35 · Gk

Sd = 1.50 · Sr,k

Wd = 1.50 · Wk

Lastkombinationer

Mest ogynnsamma lastkombination. Snö och vind läggs inte bara ihop som två maximala laster som verkar samtidigt. Kalkylatorn kontrollerar två kombinationer: snö som ledande variabel last och vind som ledande variabel last. För medföljande vind används kombinationsfaktorn ψW = 0.60, och för medföljande snö används ψS = 0.70.

För kombinationen med snö som ledande last:

pS = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Sr,k · cos2(α) + 1.50 · 0.60 · Wk

För kombinationen med vind som ledande last:

pW = 1.35 · Gk · cos(α) + 1.50 · Wk + 1.50 · 0.70 · Sr,k · cos2(α)

Det största värdet används i den fortsatta hållfasthetsberäkningen:

pULS = max(pS, pW)

Projektion av laster. Permanent last från egenvikt verkar vertikalt och omvandlas till den komponent som orsakar böjning i sparren med hjälp av cos(α). Snölasten anges per horisontell takprojektion, därför används cos2(α) vid omvandling till den last som böjer den lutande sparren. I den använda modellen behandlas vindlasten redan som verkande vinkelrätt mot takytan.

Linjelast och last på en sparre

Linjelast. Den dimensionerande ytlasten omvandlas till en jämnt fördelad linjelast med hjälp av sparravståndet D. Om p_ULS anges i kN/m² och D i millimeter:

q = pULS · D / 1000

Det resulterande värdet q uttrycks i kN/m. För enhetsomvandling använder kalkylatorn 1 kN/m² ≈ 101.97 kg/m².

Lastarea för en sparre. För referensvärdet för den totala lasten på en sparre används den geometriska längden längs takfallet utan tillägg för ändsnitten:

A = Lg · D / 1 000 000

Här anges L_g och D i millimeter, och den resulterande lastarean A uttrycks i m².

Böjmoment

Statisk modell. Sparren betraktas som en balk på två upplag med ett utkragande takutsprång på vänster sida och en jämnt fördelad last längs hela längden. Beräkningen använder den lutande spännvidden mellan upplagen L_s och den lutande längden på takutsprånget L_o.

Det positiva böjmomentet inom spännvidden beräknas med hänsyn till inverkan från det utkragande takutsprånget:

Ms = q · (Ls2 − Lo2)2 / (8 · Ls2)

Detta värde används när Lo < Ls. Momentet vid upplaget från det utkragande takutsprånget är:

Mo = q · Lo2 / 2

Det största absoluta värdet används för dimensionering av sparrens tvärsnitt:

M = max(Ms, Mo)

Träets hållfasthet och dimensionering av sparren

Dimensionerande böjhållfasthet. För hållfasthetsklasserna C16, C24 och C30 används karakteristiska böjhållfastheter på 16, 24 respektive 30 N/mm². Kalkylatorn använder modifieringsfaktorn kmod = 0.70 och materialfaktorn γM = 1.30.

fm,d = kmod · fm,k / γM

• C16: fm,d = 8.62 N/mm²
• C24: fm,d = 12.92 N/mm²
• C30: fm,d = 16.15 N/mm²

Det erforderliga böjmotståndet bestäms från det maximala böjmomentet:

Wreq = M / fm,d

För ett rektangulärt sparrtvärsnitt:

W = b · h2 / 6

Om förhållandet r = h/b anges beräknas den minsta sparrhöjd som krävs av hållfasthetsskäl som:

h = (6 · Wreq · r)1/3

Om sparrens bredd b anges direkt:

h = (6 · Wreq / b)1/2

Kontroll av nedböjning

Elasticitetsmodul. För beräkning av nedböjning används medelvärden för elasticitetsmodulen på 8000 N/mm² för C16, 11000 N/mm² för C24 och 12000 N/mm² för C30.

Lastkombination i bruksgränstillstånd. Faktorerna 1.35 och 1.50 används inte vid kontroll av nedböjning. Två lastkombinationer för bruksgränstillstånd kontrolleras:

pSLS,S = Gk · cos(α) + Sr,k · cos2(α) + 0.60 · Wk

pSLS,W = Gk · cos(α) + Wk + 0.70 · Sr,k · cos2(α)

pSLS = max(pSLS,S, pSLS,W)

Tillåten nedböjning. Gränsvärdet baseras på den lutande spännvidden mellan upplagen. Med vald faktor k lika med 200, 250 eller 300:

flim = Ls / k

En större nämnare innebär ett strängare krav på styvhet.

Beräknad nedböjning. Det rektangulära tvärsnittets tröghetsmoment är:

I = b · h3 / 12

Nedböjningen beräknas över hela spännvidden mellan upplagen med den jämnt fördelade lasten på det utkragande takutsprånget inkluderad. För koordinaten x, mätt från det vänstra upplaget, används följande samband:

f(x) = q / (24 · E · I) · [−6 · Lo2 · x2 + 2 · (Ls2 + Lo2) · x3 / Ls − x4 − Ls · (Ls2 − 4 · Lo2) · x]

Den maximala absoluta nedböjningen bestäms numeriskt längs spännvidden med steget Ls / 1000. När ett preliminärt tvärsnitt har valts beräknas den faktiska nedböjningen på nytt. Om den överstiger det tillåtna värdet ökas sparrhöjden h i steg om 1 mm tills f ≤ flim är uppfyllt.

Hur den slutliga sparrdimensionen väljs

Två oberoende villkor. Sparrens tvärsnitt måste uppfylla både kravet på böjhållfasthet och kravet på nedböjning. Minsta höjd som krävs för hållfasthet och minsta höjd som krävs för styvhet beräknas separat, varefter det största värdet väljs.

Om ett förhållande h/b anges beräknas bredden från detta förhållande och båda måtten avrundas uppåt. Om bredden anges direkt hålls den konstant medan höjden ökas tills båda villkoren är uppfyllda. De slutliga sparrdimensionerna avrundas uppåt till hela millimeter.

Praktiska riktvärden

Sparravstånd. I tak på låga byggnader används ofta sparravstånd på cirka 600-900 mm, även om det faktiska avståndet beror på spännvidd, belastningar, takuppbyggnad och valt sparrtvärsnitt.

Tvärsnittsproportioner. För rektangulära träsparrar är förhållanden h/b på cirka 1.5 till 3 vanliga. När nedböjningen är dimensionerande är det vanligtvis betydligt effektivare att öka sparrhöjden än bredden, eftersom tröghetsmomentet beror på h³.

Klimatlaster. Karakteristisk snölast på mark och vindlast bör för den aktuella projektplatsen hämtas från nationella dimensioneringsdata och relevanta nationella bilagor till Eurokoderna.

Europeiska standarder

Beräkningsmodellen och beteckningarna följer den allmänna europeiska metoden för dimensionering av bärverk. Lastkombinationer är kopplade till EN 1990 ”Eurokod - Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk”. Snölaster behandlas i EN 1991-1-3 ”Eurokod 1: Laster på bärverk - Del 1-3: Allmänna laster - Snölast”, medan vindlaster behandlas i EN 1991-1-4 ”Eurokod 1: Laster på bärverk - Del 1-4: Allmänna laster - Vindlast”.

Hållfasthetsklasserna C16, C24 och C30 är kopplade till EN 338 ”Konstruktionsvirke - Hållfasthetsklasser”. Dimensioneringsegenskaper för träelement samt kontroller av hållfasthet och brukbarhet är kopplade till EN 1995-1-1 ”Eurokod 5: Dimensionering av träkonstruktioner - Del 1-1: Allmänt - Gemensamma regler och regler för byggnader”. Nationella bilagor kan ange andra klimatdata och andra nationellt bestämda parametrar.

FAQs

Varför påverkar takutsprånget S inte takvinkeln?

Taklutningen bestäms av triangeln mellan de två upplagen och beror därför på den horisontella spännvidden B och höjden H. Takutsprånget S är en förlängning av den redan lutande sparren utanför det vänstra upplaget. Ett större utsprång ökar sparrlängden och momentet från utkragningen men ändrar inte takvinkeln.

Varför är den nödvändiga sparrlängden större än den geometriska längden längs takfallet?

Den geometriska längden beräknas från spännvidden mellan upplagen och takutsprånget längs takfallet. När sparrhöjden har bestämts tar kalkylatorn även hänsyn till de vertikala ändsnitten, som kräver en extra längd på h · tan(α). Den nödvändiga ämneslängden beror därför både på takets geometri och den beräknade sparrhöjden.

Varför är den totala dimensionerande lasten inte bara summan av snölast, vindlast och permanenta laster?

Snö och vind är variabla laster, därför kontrollerar kalkylatorn separata kombinationer med snö som ledande last och vind som ledande last. Den medföljande lasten reduceras med en kombinationsfaktor ψ, medan vertikala laster dessutom omvandlas beroende på taklutningen. Den mest ogynnsamma av de två kombinationerna används för dimensioneringen av sparren.

Hur påverkar taklutningen den erforderliga sparrdimensionen?

När takvinkeln ökar förändras den lutande spännvidden mellan upplagen och omvandlingen av permanenta laster och snölast. Över 30° börjar även snölastens formfaktor μ minska och når noll vid 60° i den använda beräkningsmodellen. En förändring av taklutningen kan därför samtidigt påverka belastning, böjmoment och nedböjning.

Varför ger C16, C24 och C30 olika sparrdimensioner?

Dessa hållfasthetsklasser för trä har olika karakteristisk böjhållfasthet och olika elasticitetsmoduler. Högre böjhållfasthet minskar det erforderliga böjmotståndet, medan en högre elasticitetsmodul minskar nedböjningen för samma sparrdimensioner. Den slutliga dimensionen bestäms ändå av det villkor som kräver störst tvärsnitt: hållfasthet eller styvhet.