Viertelgewendelte Treppe mit Wendestufen berechnen

Über die Berechnung einer viertelgewendelten Treppe mit Wendestufen

Dieser Rechner für eine viertelgewendelte L-Treppe mit Wendelstufen führt eine geometrische Berechnung einer Treppe mit 90°-Wendung durch. Aus den vorgegebenen Gesamtmaßen und der Anzahl der Stufen ermittelt er Steigungshöhe, Auftritt der geraden Stufen, Neigungswinkel der Treppenläufe, Komfortwert, Abmessungen des Wendelbereichs sowie Maße der Treppenwangen bzw. Treppenholme und Setzstufen.

Die Berechnung dient zur Wahl geeigneter Treppenproportionen und zur Erstellung bemaßter Zeichnungen. Die geraden Stufen des oberen und unteren Laufs werden mit demselben wirksamen Auftritt berechnet, während die Wendelstufen durch geometrische Unterteilung der 90°-Wendung erzeugt werden. Die berechnete Geometrie kann für die Planung von Holz- oder Metalltreppen verwendet werden.

Richtwerte und Empfehlungen

Automatische Auswahl der Stufenanzahl

Suchprinzip. Wenn die automatische Auswahl aktiviert ist, prüft der Rechner alle zulässigen Kombinationen aus oberen geraden Stufen, gewendelten Stufen und unteren geraden Stufen. Berücksichtigt werden nur geometrisch gültige Varianten.

Bewertungskriterien. Für jede Variante ermittelt der Rechner die Stufenhöhe h, die berechnete Auftrittstiefe a, den Neigungswinkel α und den Komfortwert 2h + a. Die Zielbereiche betragen entsprechend 150–200 mm, 270–320 mm, 30–40° und 600–660 mm.

Auswahl der besten Variante. Vorrang haben zunächst Kombinationen mit der geringsten Abweichung außerhalb der Zielbereiche, danach Varianten mit weniger außerhalb liegenden Parametern und mit Werten, die näher an den Mittelpunkten der Zielbereiche liegen. Bleiben mehrere Varianten gleichwertig, bevorzugt der Rechner eine Anzahl gewendelte Stufen näher an 3 sowie eine ausgewogenere Verteilung der verfügbaren Auftrittstiefe zwischen oberem und unterem Lauf.

Wenn die vorgegebenen Treppenmaße nicht erlauben, alle Zielbereiche gleichzeitig einzuhalten, wählt der Algorithmus dennoch die nächstliegende geometrisch gültige Variante. In diesem Fall können ein oder mehrere Ergebniswerte außerhalb der empfohlenen Bereiche liegen und werden vom Rechner hervorgehoben.

Eine manuelle Änderung der Anzahl der oberen, gewendelten oder unteren Stufen deaktiviert die automatische Auswahl. Bleibt die automatische Auswahl aktiviert, führt eine Änderung der Treppenmaße zu einer erneuten automatischen Auswahl der Stufenanzahl.

Anzahl der Steigungen und Steigungshöhe

Gesamtzahl der Steigungen. Die Geschosshöhe wird in gleich große vertikale Abschnitte unterteilt. In die Berechnung gehen die unteren geraden Stufen, die Wendelstufen und die oberen geraden Stufen ein. Die Lage der letzten Stufe gegenüber dem oberen Fußbodenniveau bestimmt, ob eine zusätzliche Steigung erforderlich ist.

n = nunten + nWendel + noben + k

Dabei sind nunten, nWendel und noben die Anzahlen der jeweiligen Stufen. k = 1 gilt, wenn die oberste Stufe unterhalb des Bodenniveaus des zweiten Geschosses liegt, und k = 0, wenn sie auf Höhe des oberen Fußbodens liegt.

Steigungshöhe. Alle Steigungen einschließlich des Wendelbereichs werden mit gleicher Höhe angenommen. Bei einer gesamten Treppenhöhe H in Millimetern ergibt sich die Höhe einer Steigung zu:

h = H / n

Eine Änderung der Stufenanzahl verändert daher unmittelbar die Steigungshöhe und wirkt sich anschließend auf Treppenwinkel, schräge Stufenabstände und Komfortwert aus. Der Rechner verwendet 150–200 mm als praktischen Richtbereich für eine komfortable Steigungshöhe.

Auftritt der geraden Stufen

Verfügbare Länge des oberen Laufs. Von der gesamten Treppenlänge L wird die Laufbreite M abgezogen, die vom Wendebereich eingenommen wird. Die verbleibende Strecke wird auf die oberen geraden Stufen verteilt:

aoben = (L - M) / noben

Verfügbare Länge des unteren Laufs. Entsprechend wird die Breite des Wendebereichs M von der gesamten Treppenbreite B abgezogen und die verbleibende Strecke durch die Anzahl der unteren geraden Stufen geteilt:

aunten = (B - M) / nunten

Einheitlicher berechneter Auftritt. Für beide geraden Treppenläufe verwendet der Rechner denselben Auftritt. Deshalb wird der kleinere der beiden verfügbaren Werte gewählt:

a = min(aoben, aunten)

Damit wird sichergestellt, dass gerade Stufen mit identischem Auftritt sowohl innerhalb der verfügbaren Treppenlänge als auch innerhalb der verfügbaren Breite Platz finden. Falls einer der geraden Läufe fehlt, wird für diese Richtung die Laufbreite M als begrenzender geometrischer Wert verwendet.

Für den berechneten Auftritt verwendet der Rechner 270–320 mm als praktischen Richtbereich. Dieser Wert beschreibt den horizontalen Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Steigungen und enthält keinen Stufenüberstand.

Gesamte Stufentiefe

Stufenüberstand. Die sichtbare Trittstufe kann tiefer als der berechnete Auftritt sein, da ihre Vorderkante über die Setzstufe hinausragen kann. Der vorgegebene Überstand s wird deshalb zum wirksamen Auftritt a addiert.

Dicke der Setzstufe. Wenn Setzstufen verwendet werden, wird auch deren Dicke ts in die gesamte geometrische Tiefe der Trittstufe einbezogen. Die resultierende Stufentiefe beträgt:

agesamt = a + s + ts

Werden keine Setzstufen verwendet, gilt ts = 0, sodass die gesamte Stufentiefe a + s beträgt. Deshalb kann die tatsächliche Trittstufe tiefer sein als der berechnete Auftritt.

Treppenwinkel und schräger Stufenabstand

Neigungswinkel des Laufs. Nachdem Steigungshöhe h und horizontaler Auftritt a bestimmt wurden, wird die Neigung der geraden Läufe aus einem rechtwinkligen Dreieck berechnet:

α = arctan(h / a)

Für den unteren und oberen geraden Lauf wird derselbe Winkel verwendet, da beide dieselbe Steigungshöhe und denselben berechneten Auftritt besitzen. Als praktischen Richtwert verwendet der Rechner 30–40°.

Schräger Abstand zwischen den Stufen. Die Länge eines Stufenintervalls entlang der Treppenwange bzw. des Treppenholms wird nach dem Satz des Pythagoras berechnet:

l = √(h2 + a2)

Dieser Wert wird anschließend zur Berechnung der Längen der geraden geneigten Abschnitte verwendet.

Komfortwert 2h + a

Verhältnis von Steigung und Auftritt. Eine zusätzliche Kontrolle erfolgt mit der häufig verwendeten Treppenformel:

P = 2h + a

Die Formel verbindet zwei vertikale Steigungen mit einem horizontalen Auftritt und ermöglicht eine gemeinsame Beurteilung der Stufenproportionen. Der Rechner verwendet 600–660 mm als komfortablen Richtbereich und etwa 630 mm als empfohlenen Mittelwert.

Die Prüfung 2h + a ergänzt die getrennte Beurteilung von Steigungshöhe, Auftritt und Laufwinkel, ersetzt sie aber nicht. Ein günstiges Ergebnis dieser Formel bedeutet beispielsweise nicht automatisch, dass eine sehr hohe oder sehr schmale Stufe geeignete Proportionen besitzt.

Geometrie der Wendelstufen

Winkelteilung. Die gesamte Wendung beträgt immer 90°. Dieser Winkel wird entsprechend der Anzahl der Wendelstufen in gleiche Abschnitte unterteilt:

β = 90° / nWendel

Bei drei Wendelstufen beträgt der grundlegende Winkel 30°, bei vier 22,5° und bei fünf 18°. Der Rechner erlaubt 2 bis 8 Wendelstufen; bei einer viertelgewendelten Treppe mit 90°-Wendung werden häufig drei Wendelstufen verwendet.

Geometrie der einzelnen Wendelstufen. Die Konturen der Wendelstufen werden innerhalb des Wendebereichs schrittweise aus der Laufbreite und der gleichmäßigen Winkelteilung erzeugt. Die Form jeder Stufe ergibt sich aus dem Schnitt der jeweiligen radialen Richtungen mit den Begrenzungen des Wendebereichs. Eine Änderung der Anzahl der Wendelstufen verändert daher sowohl ihre Anzahl als auch die Geometrie jeder einzelnen Trittstufe.

Begrenzung des Wendebereichs. Als Grundmaß dient die Laufbreite M. Wenn die doppelte Laufbreite größer als die gesamte Treppenbreite B ist, wird das entsprechende Maß des Wendebereichs in der Zeichnung auf die Hälfte der Gesamtbreite begrenzt:

MWendung = B / 2 wenn 2M > B

Diese Bedingung hält die Wendungsgeometrie innerhalb der vorgegebenen Gesamtbreite. Beim Aufbau der äußeren Begrenzung des Wendelbereichs wird außerdem der Stufenüberstand berücksichtigt.

Höhe am Beginn des Wendelbereichs. Die vertikale Position der Wendung wird durch die Anzahl der unteren geraden Steigungen bestimmt:

HWendel = nunten · h

Dieser Wert gibt die Höhe an, in der die Gruppe der Wendelstufen über dem unteren Fußbodenniveau beginnt.

Berechnung der Treppenwangen und Treppenholme

Unterer gerader Abschnitt. Für den unteren Tragholm wird zunächst die Länge der oberen Kante aus der Anzahl der unteren Stufen, der Steigungshöhe, der Trittstufendicke t und dem Treppenwinkel α bestimmt:

Lunten,oben = (nunten · h - t) / sin(α)

Gegenüberliegende Kante des unteren Holms. Da die Treppenwange bzw. der Treppenholm eine vorgegebene Breite w besitzt, erhält die gegenüberliegende Kante eine geometrische Korrektur in Abhängigkeit vom Neigungswinkel:

Lunten,unten = Lunten,oben - w · tan(α) - w / tan(α)

Die Breite des Bauteils beeinflusst damit unmittelbar die Differenz zwischen den beiden Längsmaßen des unteren Elements.

Oberer gerader Abschnitt. Für den oberen Abschnitt wird der schräge Abstand eines Schritts l mit der Anzahl der oberen Stufen multipliziert:

Loben = noben · l

Im aktuellen geometrischen Modell werden beide Kanten des oberen geraden Tragholms mit derselben berechneten Länge Loben angesetzt. Dies ist eine Annahme, die der Rechner für diesen Abschnitt der Zeichnung verwendet.

Berechnung der Setzstufen

Höhe der Setzstufe. Eine Setzstufe befindet sich zwischen zwei benachbarten Trittstufen. Deshalb wird die Dicke der Trittstufe von der gesamten Steigungshöhe abgezogen:

hs = h - t

Bei einer Steigung von 180 mm und einer Trittstufendicke von 40 mm ergibt sich beispielsweise eine berechnete Setzstufenhöhe von 140 mm.

Anzahl der Setzstufen. Die Anzahl der Setzstufen wird gleich der Gesamtzahl der Steigungen n angesetzt. Die Länge jeder Setzstufe entspricht der vorgegebenen Laufbreite M.

Berechnungsgrenzen

Geometrische Verträglichkeit. Damit die Treppengeometrie konstruiert werden kann, dürfen die gesamte Länge und Breite nicht kleiner als die Laufbreite sein. Die Trittstufendicke muss kleiner als die berechnete Steigungshöhe sein, und die Maße des unteren Tragholms müssen nach der Winkelkorrektur positiv bleiben.

Anzahl der Stufen. Die Berechnung unterstützt getrennt bis zu 13 gerade Stufen für den oberen und unteren Lauf sowie 2 bis 8 Wendelstufen. Bei jeder Änderung der Stufenanzahl werden alle Zwischenwerte der Geometrie neu berechnet.

Europäische Referenzen

EN 17210:2021 „Barrierefreiheit und Nutzbarkeit der gebauten Umwelt – Funktionale Anforderungen“. Diese europäische Norm legt allgemeine Grundsätze für Barrierefreiheit und Nutzbarkeit von Elementen der gebauten Umwelt fest, einschließlich Verkehrswegen und Treppen. Die endgültigen Treppenmaße sollten zusätzlich anhand der Anforderungen geprüft werden, die für den jeweiligen Gebäudetyp und das jeweilige Land gelten.

CEN/TR 17621:2021 „Barrierefreiheit und Nutzbarkeit der gebauten Umwelt – Technische Leistungskriterien und Spezifikationen“. Dieses Dokument ergänzt den funktionalen Ansatz der EN 17210 durch technische Kriterien zur Beurteilung von Barrierefreiheit und Nutzbarkeit der gebauten Umwelt.

Die Bereiche 150–200 mm, 270–320 mm, 30–40° und 600–660 mm, die der Rechner zur Beurteilung der Proportionen verwendet, sind praktische Planungsrichtwerte. Konkrete zulässige Abmessungen von Treppen können in europäischen Ländern zusätzlich durch nationale Bauvorschriften geregelt sein.

FAQs

Warum ist der Auftritt beim oberen und unteren Treppenlauf gleich?

Eine viertelgewendelte L-Treppe muss in beiden Richtungen innerhalb der verfügbaren Abmessungen bleiben. Der Rechner ermittelt den möglichen Auftritt für beide Richtungen getrennt und wählt anschließend den kleineren Wert. Dadurch erhalten beide geraden Läufe denselben Auftritt und die Treppe bleibt innerhalb der vorgegebenen Gesamtmaße.

Warum verändern sich mehrere Ergebnisse gleichzeitig, wenn die Stufenanzahl geändert wird?

Die Anzahl der Stufen bestimmt die Gesamtzahl der vertikalen Steigungen, sodass sich zuerst die Steigungshöhe h ändert. Danach berechnet der Rechner Auftritt, Treppenwinkel, schrägen Stufenabstand, Komfortwert 2h + a und die Abmessungen der Tragholme neu. Die Treppengeometrie wird daher als zusammenhängendes System und nicht als Sammlung unabhängiger Maße berechnet.

Wie beeinflusst die Anzahl der Wendelstufen eine viertelgewendelte Treppe?

Die gesamte Wendung bleibt 90°, dieser Winkel wird jedoch auf alle Wendelstufen verteilt. Eine größere Anzahl verkleinert den Winkelbereich jeder einzelnen Trittstufe und verändert die Form des gesamten Wendebereichs. Drei Wendelstufen sind eine häufig verwendete Lösung für eine L-Treppe mit 90°-Wendung.

Warum ist die gesamte Stufentiefe größer als der berechnete Auftritt?

Der berechnete Auftritt a ist der horizontale Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Steigungen. Die tatsächliche Trittstufe enthält zusätzlich den vorderen Überstand und bei Verwendung von Setzstufen auch deren Dicke. Deshalb ergibt sich die Bauteiltiefe zu agesamt = a + s + ts.

Was ändert sich, wenn die oberste Stufe auf Höhe des zweiten Geschosses liegt?

Es ändert sich die Anzahl der vertikalen Steigungen, durch die die gesamte Treppenhöhe geteilt wird. Liegt die oberste Stufe unterhalb des zweiten Geschosses, wird eine zusätzliche Steigung berücksichtigt; liegt sie auf Höhe des oberen Fußbodens, ist keine zusätzliche Steigung erforderlich. Dadurch ändern sich Steigungshöhe, Treppenwinkel und die damit verbundenen berechneten Maße.