Calcul toit en pavillon à quatre pans
Méthode de calcul du toit en pavillon à quatre pans
Ce calculateur de toit en pavillon effectue le calcul géométrique d'une toiture à quatre pans pour un bâtiment rectangulaire avec un sommet unique et quatre versants. Il permet de calculer la pente, la surface de toiture, les longueurs des chevrons, la charpente, les liteaux et certains matériaux complémentaires, tout en fournissant les dimensions et plans nécessaires à la conception de la couverture.
Toutes les dimensions linéaires saisies sont exprimées en millimètres. Les longueurs de matériaux sont indiquées en mètres, les surfaces en m2 et les volumes en m3. Les débords de toiture sont considérés comme le prolongement des mêmes plans de toiture, sans modification de leur pente.
Valeurs indicatives et recommandations
Géométrie du toit en pavillon
Dimensions de la toiture. La longueur du bâtiment est désignée par A, sa largeur par B, la hauteur du toit au-dessus du niveau des murs par H et le débord de toiture par C. Le débord est ajouté des deux côtés de chaque dimension du bâtiment :
Ar = A + 2 × C
Br = B + 2 × C
Angles de pente. Sur un toit en pavillon de plan rectangulaire, les deux paires de versants ont des projections horizontales différentes. Le versant dont l'égout mesure A monte jusqu'au sommet sur la moitié de la largeur B, tandis que le versant dont l'égout mesure B monte sur la moitié de la longueur A :
αA = arctan(H / (B / 2))
αB = arctan(H / (A / 2))
Les angles sont affichés avec une précision de 0,1°. Pour un plan carré où A = B, les deux angles de pente sont identiques.
Surface de toiture
Coefficients de pente. Pour convertir la projection horizontale en surface réelle inclinée, le calculateur détermine des coefficients correspondant au rapport entre la longueur inclinée et sa projection horizontale :
kA = √((B / 2)2 + H2) / (B / 2)
kB = √((A / 2)2 + H2) / (A / 2)
Surface des quatre versants. Les deux paires de versants triangulaires sont calculées séparément à l'aide de leurs coefficients de pente respectifs, puis leurs surfaces sont additionnées :
S = Ar × Br × (kA + kB) / (2 × 1000000)
Le facteur 1000000 convertit les mm2 en m2. La surface obtenue est arrondie vers le haut à 0,1 m2 afin que l'arrondi ne réduise pas la quantité calculée de couverture.
Répartition des chevrons
Entraxe défini. L'entraxe des chevrons est considéré comme la distance nominale entre deux chevrons voisins. Les chevrons sont répartis symétriquement par rapport aux axes de la toiture. Si un intervalle incomplet subsiste au bord d'un versant, la position des chevrons extrêmes est ajustée afin d'éviter un espace résiduel très étroit.
Répartition uniforme. Lorsqu'un entraxe maximal est défini, le calculateur détermine d'abord la distance disponible en tenant compte de l'épaisseur des arêtiers. Pour le rapport des dimensions de toiture r = Ar / Br, les projections de l'épaisseur du chevron S2 sont :
pB = S2 / √(1 + r2)
pA = r × pB
La plus grande distance disponible dans les deux directions est ensuite retenue :
Lavail = max(Ar - 2pA - S2, Br - 2pB - S2)
Le nombre d'intervalles est arrondi vers le haut afin que l'entraxe maximal spécifié ne soit pas dépassé :
n = ceil(Lavail / Pmax)
P = floor(Lavail / n)
L'entraxe réel P est arrondi vers le bas au millimètre entier, puis utilisé pour la répartition symétrique des chevrons.
Longueur et volume des chevrons
Arêtiers. Le calculateur utilise 4 arêtiers allant des quatre angles de la toiture jusqu'au sommet. La projection horizontale diagonale à l'intérieur du contour du bâtiment est d'abord calculée :
G = √((A / 2)2 + (B / 2)2)
Un coefficient de pente spatial est ensuite déterminé pour cette projection :
kd = √(G2 + H2) / G
La projection diagonale jusqu'aux angles extérieurs des égouts est :
Gr = √((Ar / 2)2 + (Br / 2)2)
La longueur calculée d'un arêtier comprend une correction pour la coupe biaise inférieure d'une pièce de largeur S1 :
Ld = ceil(Gr × kd + S1 × √(kd2 - 1))
Chevrons intermédiaires. Pour chaque position, la longueur horizontale jusqu'au sommet est déterminée. Cette longueur est multipliée par le coefficient de pente du versant correspondant, puis la correction liée à la coupe biaise inférieure est ajoutée :
Li = ceil(Xi × k + S1 × √(k2 - 1))
Ici, Xi représente la projection horizontale du chevron concerné et k le coefficient de pente du versant. Chaque longueur de chevron est arrondie vers le haut au 1 mm supérieur.
Volume total des chevrons. Les longueurs de tous les chevrons intermédiaires et des quatre arêtiers sont additionnées. Le volume de bois est calculé à partir de la section des chevrons :
Vraf = Lraf × S1 × S2 / 1000000000
Dans cette formule, Lraf est exprimée en millimètres. La division par 1000000000 convertit les mm3 en m3.
Liteaux
Disposition des rangées. La première rangée de liteaux est placée au niveau de l'égout. Si aucun premier entraxe distinct n'est défini, la deuxième rangée est positionnée selon l'entraxe principal O3. Si un premier entraxe spécifique est indiqué, seule la distance entre la première et la deuxième rangée utilise cette valeur ; tous les intervalles suivants reviennent à O3.
Dernière rangée. Les rangées sont ajoutées en direction du sommet en tenant compte de la largeur du liteau O1. Si la distance libre restante après la dernière rangée calculée est supérieure à max(120 mm, O1), le calculateur ajoute une rangée supplémentaire près de la partie supérieure du versant.
Longueur des rangées. La longueur de chaque rangée est déterminée d'après la largeur réelle du versant triangulaire à la distance correspondante depuis l'égout. Cette longueur diminue linéairement à mesure que l'on approche du sommet. La longueur totale des liteaux est obtenue en additionnant toutes les rangées des quatre versants.
Volume des liteaux. La longueur totale non arrondie des liteaux, exprimée en millimètres, est utilisée pour calculer le volume :
Vbat = Lbat × O1 × O2 / 1000000000
La longueur totale des liteaux affichée dans les résultats est arrondie au mètre entier le plus proche, tandis que le volume est arrondi à 0,01 m3.
Éléments en bois supplémentaires
Planche de rive. Sa longueur correspond au périmètre extérieur complet de la toiture le long des égouts :
Lf = 2 × (Ar + Br)
Sablière. La sablière est calculée sur le périmètre du bâtiment sans tenir compte des débords de toiture. Quatre largeurs de sablière M sont soustraites du périmètre total pour tenir compte des quatre angles :
Lw = max(0, 2A + 2B - 4M)
Contre-lattes. Leur longueur totale est considérée comme égale à la longueur totale des chevrons, car elles sont disposées le long de ceux-ci :
Lcb = Lraf
Volume de bois. Le même principe de calcul est utilisé pour chaque élément en bois :
V = L × b × h / 1000000000
Ici, L, b et h sont exprimés en millimètres. Les chevrons et les liteaux sont toujours inclus dans le volume total de bois. La planche de rive, la sablière et les contre-lattes ne sont ajoutées que lorsque leur calcul est activé :
Vtotal = Vraf + Vbat + Vf + Vw + Vcb
Étanchéité
Surface de matériau. La surface de toiture calculée S sert de valeur de départ. Le matériau supplémentaire nécessaire aux recouvrements est déterminé à partir de la longueur du rouleau Lr, de sa largeur Wr et du recouvrement N :
Sw = S × (1 + N / Lr + N / Wr)
Les rapports entre parenthèses sont sans dimension ; Lr, Wr et N doivent donc être exprimés dans les mêmes unités. La surface d'étanchéité calculée est arrondie à 0,1 m2.
Nombre de rouleaux. La surface d'étanchéité déjà arrondie à 0,1 m2 est utilisée pour l'étape suivante :
Qr = Sw / (Lr × Wr / 1000000)
Le nombre de rouleaux est affiché avec une précision de 0,1 et n'est pas automatiquement arrondi à un nombre entier supérieur. La longueur totale calculée du matériau en rouleau est déterminée par Qr × Lr et affichée avec une précision de 0,1 m.
Isolation
Surface de toiture isolée. Pour l'isolation, le calculateur utilise la surface des versants située au-dessus du contour du bâtiment, sans les débords de toiture. Elle est déterminée à l'aide des mêmes coefficients de pente :
Sins = A × B × (kA + kB) / (2 × 1000000)
Volume d'isolation. Pour une épaisseur d'isolant U exprimée en millimètres :
Vins = Sins × U / 1000
La division par 1000 convertit l'épaisseur de l'isolant de millimètres en mètres. Le résultat est arrondi à 0,01 m3.
Valeurs pratiques et hypothèses
Entraxe des chevrons. Pour les charpentes en bois, un entraxe d'environ 600 mm est fréquemment utilisé. Des valeurs d'environ 600-800 mm sont également courantes, mais l'entraxe réel dépend de la portée, de la section du bois, des dimensions de l'isolant et des charges de calcul.
Débord de toiture. Pour les bâtiments de faible hauteur, des débords d'environ 300-700 mm sont courants. L'augmentation du débord accroît la surface de couverture, la longueur des planches de rive et la quantité de liteaux.
Premier entraxe des liteaux. Pour certains systèmes de tuiles métalliques avec un entraxe principal d'environ 350 mm, un premier entraxe d'environ 280-300 mm est courant. La valeur exacte dépend du profil de couverture et de la méthode de mesure indiquée par le fabricant.
Recouvrement de l'étanchéité. Pour de nombreuses membranes de toiture en rouleaux, des recouvrements d'environ 100-150 mm sont couramment utilisés. La valeur requise dépend du type de membrane, de la pente du toit et de la méthode d'assemblage des lés adjacents.
Marge de matériau. Les longueurs, surfaces et volumes calculés sont des quantités géométriques. Aucun coefficient supplémentaire de perte ou de réserve d'achat n'est appliqué automatiquement. Pour le bois, une marge d'environ 5-10% est souvent ajoutée pour les coupes, le tri, les assemblages et les chutes.
Normes européennes associées
EN 1990 Eurocode. Bases de calcul des structures. Définit les principes généraux de fiabilité des structures, les situations de projet et les combinaisons d'actions utilisées pour le dimensionnement des éléments porteurs de la toiture.
EN 1991-1-3 Eurocode 1. Actions sur les structures. Partie 1-3 : Actions générales. Charges de neige. Sert à déterminer les actions dues à la neige en tenant compte de la forme et de la pente de la toiture, des conditions climatiques et des coefficients de forme.
EN 1991-1-4 Eurocode 1. Actions sur les structures. Partie 1-4 : Actions générales. Actions du vent. Définit les règles de détermination des pressions et dépressions dues au vent, notamment selon la forme du toit, la hauteur du bâtiment et les zones de rive de la toiture.
EN 1995-1-1 Eurocode 5. Conception et calcul des structures en bois. Partie 1-1 : Généralités. Règles communes et règles pour les bâtiments. Est utilisé pour choisir les sections des chevrons en bois et vérifier leur résistance, leur flèche, leur stabilité et leurs assemblages.
FAQs
Pourquoi un toit en pavillon peut-il avoir deux pentes différentes ?
Avec un plan rectangulaire, le sommet se situe au-dessus du centre du bâtiment, mais les distances entre ce sommet et les égouts A et B sont différentes. Avec une même hauteur de toit H, les deux paires de versants ont donc des projections horizontales et des angles différents. Sur un plan carré, les deux angles sont identiques.
Comment le calculateur détermine-t-il l'entraxe des chevrons lors d'une répartition uniforme ?
Il détermine d'abord la distance disponible en tenant compte de la géométrie de la toiture et de l'épaisseur des arêtiers. Cette distance est ensuite divisée par le plus petit nombre entier d'intervalles permettant de maintenir l'entraxe réel inférieur ou égal à la valeur maximale définie. L'entraxe obtenu est arrondi vers le bas au millimètre entier.
Pourquoi les arêtiers sont-ils plus longs que les autres chevrons ?
Un arêtier se développe simultanément dans deux directions horizontales, depuis un angle d'égout jusqu'au sommet de la toiture. Sa projection horizontale est donc plus longue que celle d'un chevron intermédiaire. La longueur calculée comprend également une correction pour la coupe biaise inférieure de la pièce.
Quand faut-il utiliser un premier entraxe de liteaux différent ?
Un premier entraxe distinct est utilisé pour les systèmes de couverture où la distance entre la première et la deuxième rangée de liteaux diffère de l'entraxe principal. Après la deuxième rangée, le calculateur utilise de nouveau l'entraxe standard. Cette disposition est courante pour certains profils de tuiles métalliques.
Pourquoi la quantité calculée d'étanchéité peut-elle être fractionnaire ?
Le nombre de rouleaux représente le rapport mathématique entre la surface d'étanchéité nécessaire et la surface d'un rouleau, en tenant compte du recouvrement spécifié. Le résultat peut donc être, par exemple, de 3,4 rouleaux. Pour l'achat, une quantité fractionnaire est généralement arrondie vers le haut en tenant également compte d'une marge de matériau appropriée.