Розрахунок ферми

Методика розрахунку ферми

Цей онлайн-калькулятор виконує розрахунок ферми, навантаження та міцності для покрівельних і навісних ферм із металу або дерева. На основі заданої геометрії та навантаження він визначає осьові зусилля в стрижнях, підбирає перерізи з вбудованих типорозмірів, перевіряє розтяг, стиск і стійкість, враховує власну вагу та оцінює прогин ферми. Сталеві та дерев'яні елементи розраховуються окремо з урахуванням властивостей вибраного матеріалу, довжин стрижнів і розкріплення поясів із площини ферми.

Орієнтири та рекомендації

Розрахункова модель і розподіл навантаження

Модель ферми. Ферма розглядається як двовимірна шарнірно-стрижнева система. Кожен стрижень працює на осьовий розтяг або стиск, а його геометрична довжина приймається рівною відстані між центрами сусідніх вузлів. Ліва опора обмежує горизонтальне та вертикальне переміщення, а права обмежує вертикальне переміщення та допускає горизонтальне.

Вузлові навантаження. Вертикальне навантаження прикладається до вузлів верхнього пояса. Кожен внутрішній навантажений вузол отримує повне вузлове навантаження P, а два крайні вузли верхнього пояса отримують по P / 2. Такий розподіл забезпечує відповідність сумарного прикладеного навантаження навантаженню на весь проліт ферми.

Навантаження на площу. Якщо вихідне навантаження задано як q у кН/м² або кг/м², спочатку розраховується повне навантаження, яке сприймає одна ферма:

Q = q · L · s

Тут L — проліт ферми в метрах, а s — відстань між сусідніми фермами в метрах. Якщо верхній пояс поділено на n панелей, повне вузлове навантаження для внутрішніх вузлів становить:

P = Q / n

Крайні вузли отримують по P / 2. Якщо навантаження вводиться в кілограмах-сили, використовується співвідношення 1 кН = 101,9716 кгс; внутрішні розрахунки зусиль виконуються в кН.

Опорні реакції, зусилля в стрижнях і власна вага

Рівновага ферми. Для кожного вузла складаються рівняння рівноваги в горизонтальному та вертикальному напрямках. Розв'язання повної системи дає опорні реакції та осьове зусилля N у кожному стрижні. Додатне зусилля розглядається як розтяг, від'ємне — як стиск.

Власна вага. Після попереднього підбору перерізів маса кожного стрижня обчислюється за площею його поперечного перерізу, фактичною довжиною та густиною матеріалу. Вага перетворюється на силу за допомогою g = 9,80665 м/с2 і порівну розподіляється між двома вузлами стрижня. Після цього зусилля та перерізи розраховуються повторно, тому збільшення ваги більших перерізів враховується в наступному циклі розрахунку.

Підбір перерізу. Для кожного навантаженого стрижня калькулятор послідовно перевіряє доступні типорозміри вибраного виду перерізу та обирає перший, що задовольняє вимоги міцності, а для стиснутих стрижнів також вимоги стійкості. Стрижню з практично нульовим розрахунковим зусиллям призначається переріз не менший за мінімальний переріз навантажених елементів відповідної групи та матеріалу.

Запас міцності. Після перевірки визначається коефіцієнт використання η, де η = 1 відповідає розрахунковій межі. Запас у відсотках обчислюється як:

Запас = (1 / η - 1) · 100%

Наприклад, η = 0,80 відповідає запасу 25%. Для ненавантажених стрижнів числовий запас не відображається.

Розрахунок сталевих елементів

Модуль пружності. Деформація сталі розраховується з використанням E = 210000 МПа. Для класів S235, S275, S355 і S420 межа текучості, що використовується в розрахунку, залежить від товщини стінки або полиці профілю.

• для товщини до 16 мм включно: S235 — 235 МПа, S275 — 275 МПа, S355 — 355 МПа, S420 — 420 МПа;
• для товщини понад 16 мм і до 40 мм: відповідно 225, 265, 345 і 400 МПа;
• для товщини понад 40 мм: відповідно 215, 255, 335 і 390 МПа.

Розтяг. Для розтягнутого стрижня коефіцієнт використання визначається за осьовою силою та несучою здатністю повного перерізу:

η = N / (A · fy)

Тут N задається в Н, A — площа поперечного перерізу в мм², а f_y — межа текучості в МПа. Умова виконується при η ≤ 1.

Стиск і загальна стійкість. Спочатку гнучкість визначається в обох головних напрямках:

λ = Leff / i

Для кожного напрямку потім визначається відносна гнучкість:

λrel = λ / π · √(fy / E)

Коефіцієнт недосконалості приймається рівним α = 0,49 для квадратних і прямокутних порожнистих профілів та круглих труб і α = 0,76 для одиночних кутиків і швелерів. Коефіцієнт зниження стійкості визначається як:

Φ = 0,5 · [1 + α · (λrel - 0,2) + λrel2]

χ = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Розрахунок виконується в обох напрямках, після чого використовується менше значення χ. Перевірка на стиск має вигляд:

η = N / (χ · A · fy) ≤ 1

Місцева стійкість сталевих перерізів. Перед перевіркою загальної втрати стійкості для стиснутих стрижнів контролюються співвідношення ширини або діаметра до товщини. Використовується ε = √(235 / fy). Для квадратних і прямокутних порожнистих профілів застосовується умова (max(h,b) - 2t) / t ≤ 42ε; для круглих труб — D / t ≤ 90ε2; для кутиків — a / t ≤ 14ε. Для швелерів стінка перевіряється за межею 42ε, а виступ полиці — за межею 14ε.

Розрахунок дерев'яних елементів

Розрахункові властивості деревини. Калькулятор використовує класи міцності C16, C24 і C30. Застосовуються такі значення міцності на розтяг, міцності на стиск, модуля пружності та середньої густини:

• C16: f_t = 10 МПа, f_c = 17 МПа, E_0,05 = 5400 МПа, E_mean = 8000 МПа, густина 370 кг/м³;
• C24: f_t = 14,5 МПа, f_c = 21 МПа, E_0,05 = 7400 МПа, E_mean = 11000 МПа, густина 420 кг/м³;
• C30: f_t = 18 МПа, f_c = 23 МПа, E_0,05 = 8000 МПа, E_mean = 12000 МПа, густина 460 кг/м³.

Коефіцієнти для деревини. Для перевірки міцності використовується коефіцієнт модифікації kmod = 0,60 і коефіцієнт матеріалу γM = 1,30. Тому базова розрахункова міцність отримується множенням характеристичної міцності на 0,60 / 1,30.

Розтяг деревини. Для елементів із максимальним розміром поперечного перерізу h менше 150 мм додатково використовується коефіцієнт розміру:

kh = min[(150 / h)0,2; 1,30]

Для h 150 мм або більше використовується kh = 1. Перевірка на розтяг:

η = N / [A · ft · kmod · kh / γM]

Стиск деревини. Для кожного напрямку спочатку визначається геометрична гнучкість λ, а потім відносна гнучкість:

λrel = λ / π · √(fc / E0,05)

При λrel ≤ 0,30 використовується kc = 1. Для більшої гнучкості:

Φ = 0,5 · [1 + 0,20 · (λrel - 0,30) + λrel2]

kc = min(1; 1 / [Φ + √(Φ2 - λrel2)])

Використовується менше значення k_c з двох напрямків. Підсумкова перевірка стиснутого дерев'яного стрижня:

η = N / [kc · A · fc · kmod / γM] ≤ 1

Розкріплення та ефективна довжина

У площині ферми. Ефективна довжина, що використовується для визначення гнучкості, приймається рівною повній геометричній довжині стрижня між сусідніми вузлами. Отже, поділ пояса вузлами ферми одночасно поділяє його на окремі розрахункові стрижні в площині ферми.

Із площини ферми. Для верхнього та нижнього поясів ефективна довжина визначається розкріпленням. Якщо задано крок розкріплення, введене значення в міліметрах безпосередньо використовується як L_y,eff. Якщо вибрано окремі розкріплені вузли, калькулятор визначає найбільшу відстань між сусідніми точками бокового закріплення відповідного пояса. Для елементів решітки ефективна довжина з площини приймається рівною повній довжині стрижня.

Орієнтація прямокутних перерізів. Для прямокутних порожнистих профілів і прямокутних дерев'яних елементів вважається, що більший розмір перерізу розташований у площині ферми, а менший — із площини. Тому стійкість із площини може бути визначальною навіть за відносно невеликої гнучкості в площині.

Практичний орієнтир. Точку розкріплення слід вважати ефективною лише тоді, коли приєднаний елемент або вузол фактично перешкоджає боковому переміщенню пояса. Верхній пояс часто розкріплюють прогонами, латами або системою в'язей, а нижній пояс може бути розкріплений в'язями між фермами або іншими елементами, що забезпечують реальне бокове закріплення.

Розрахунок прогину та підбір перерізів за жорсткістю

Пружний прогин. Після підбору перерізів калькулятор формує матрицю жорсткості всієї ферми. Осьова жорсткість кожного стрижня визначається як E · A / L. Обчислюються горизонтальні та вертикальні переміщення всіх вузлів, а найбільше за абсолютною величиною вертикальне переміщення приймається як розрахунковий прогин ферми.

Модуль пружності. Прогин сталі розраховується з використанням E = 210000 МПа. Для деревини використовуються середні модулі пружності E_mean: 8000 МПа для C16, 11000 МПа для C24 і 12000 МПа для C30.

Поправка на фактичну податливість конструкції. Чиста шарнірно-стрижнева модель враховує лише осьові деформації стрижнів і зазвичай дає менший прогин, ніж реальна конструкція. Тому розрахований пружний прогин множиться на внутрішній поправочний коефіцієнт 1,15 для сталевої ферми та 1,50 для дерев'яної. Це консервативні припущення калькулятора, а не розрахункові коефіцієнти Eurocode.

Граничний прогин. Вибраний рівень жорсткості задає максимально допустимий прогин:

flim = L / 200, L / 250 або L / 300

Більший знаменник означає менший допустимий прогин. У калькуляторі L/200 використовується як звичайний рівень жорсткості, L/250 — як підвищений, а L/300 — як найжорсткіший варіант.

Автоматичне збільшення перерізів. Якщо після перевірок міцності та стійкості прогин перевищує вибрану межу, калькулятор збільшує цільову площу поперечного перерізу навантажених стрижнів. У кожному циклі використовується такий коефіцієнт:

kA = min[2,50; max(1,05; 1,02 · f / flim)]

Після збільшення перерізів повторно розраховуються власна вага, зусилля в стрижнях, міцність, стійкість і прогин. Виконується до 12 циклів. Під час вибору наступного перерізу він також повинен задовольняти перевірки міцності та стійкості.

Маса та європейська нормативна основа

Маса ферми. Маса кожного стрижня розраховується за формулою m = A · L · ρ, де A переводиться в м², L — довжина стрижня в метрах, а ρ — густина в кг/м³. Для сталі використовується густина 7850 кг/м³. Для деревини застосовуються відповідно 370, 420 або 460 кг/м³ для C16, C24 і C30. Загальна маса ферми є сумою мас усіх розрахованих стрижнів.

Європейські стандарти. Логіка розрахунку відповідає принципам EN 1990 «Єврокод. Основи проектування конструкцій» та EN 1991 «Єврокод 1. Дії на конструкції». Для перевірки сталевих елементів використовуються підходи EN 1993-1-1 «Єврокод 3. Проектування сталевих конструкцій. Частина 1-1: Загальні правила і правила для будівель». Для дерев'яних елементів використовуються підходи EN 1995-1-1 «Єврокод 5. Проектування дерев'яних конструкцій. Частина 1-1: Загальні положення. Загальні правила і правила для будівель», а класи міцності C16, C24 і C30 відповідають EN 338 «Конструкційна деревина. Класи міцності».

FAQs

Чому зменшення кроку розкріплення може суттєво зменшити потрібний переріз?

Крок розкріплення визначає ефективну довжину пояса з площини ферми. Менша ефективна довжина знижує гнучкість, підвищує коефіцієнт стійкості та може дозволити сприймати те саме стискальне зусилля меншим перерізом. Особливо помітний цей ефект для прямокутних перерізів із відносно малою жорсткістю відносно слабкої осі.

Чому для деяких стрижнів у стовпці «Стійкість» відображається риска?

Стійкість при втраті форми перевіряється для стиснутих стрижнів. Розтягнутий стрижень перевіряється за несучою здатністю повного перерізу на розтяг, тому для стійкості відображається риска. Для стиснутого стрижня OK означає, що прийнята перевірка стійкості виконується, а NO — що не виконується.

Чому підвищення класу міцності сталі або деревини не завжди суттєво зменшує потрібний переріз?

Потрібний переріз визначається не лише міцністю матеріалу. Для стиснутих стрижнів визначальними можуть бути гнучкість і стійкість, а для всієї ферми також може бути визначальним прогин. Тому вища міцність матеріалу не завжди дає змогу використати наступний менший типорозмір перерізу.

Чим показаний запас міцності відрізняється від коефіцієнта запасу?

Показаний відсоток розраховується з фактичного коефіцієнта використання вибраного перерізу. Наприклад, використання 80% дає запас 25% за прийнятою перевіркою. Це залишкова розрахункова несуча здатність вибраного елемента, а не фіксований коефіцієнт запасу, який заздалегідь додається до навантаження.

Чому розрахунковий прогин ферми може бути значно меншим за L/250?

Ферма передає навантаження переважно через осьовий розтяг і стиск стрижнів, тому конструкція достатньої висоти може мати відносно невеликий пружний прогин. Калькулятор додатково множить ідеалізований прогин на 1,15 для сталі та на 1,50 для деревини, а якщо вибрана межа прогину перевищена, автоматично збільшує перерізи стрижнів і повторно розраховує ферму.