Расчет железобетонной балки

О расчете железобетонной балки

Калькулятор рассчитывает железобетонную балку прямоугольного сечения при двух расчётных схемах: шарнирном опирании и консольном закреплении. По размерам балки, длине, нагрузке, классу бетона и параметрам армирования определяются изгибающий момент, поперечная сила, требуемая площадь продольной арматуры, подходящий диаметр стержней и использование несущей способности.

Расчёт выполняется последовательно. Сначала определяется нагрузка с учётом собственного веса балки, затем внутренние усилия, рабочая высота сечения и требуемая площадь арматуры. После выбора стандартного диаметра калькулятор повторно проверяет геометрию сечения, размещение стержней, сопротивление изгибу и поперечной силе.

Ориентиры и рекомендации

Расчётная последовательность

Нагрузки и единицы. Размеры поперечного сечения и длина балки вводятся в миллиметрах. Перед расчётом длина переводится в метры. Распределённая нагрузка используется в кН/м, сосредоточенная сила в кН. Если нагрузка задана в кг/м или кг, калькулятор переводит её в силовые единицы с ускорением свободного падения 9.81 м/с2.

q = qkg · 9.81 / 1000

P = Pkg · 9.81 / 1000

Собственный вес. Он рассчитывается автоматически по фактическим размерам сечения. Плотность железобетона принимается равной 2500 кг/м3.

g = b · h · 2500 · 9.81 / 109

В этой формуле b и h заданы в мм, а результат g получается в кН/м. Для распределённой нагрузки собственный вес складывается с внешней нагрузкой.

Изгибающий момент и поперечная сила

Шарнирно опёртая балка. При равномерно распределённой нагрузке по всей длине пролёта используются классические зависимости для максимального момента в середине пролёта и реакции у опоры.

MEd = (q + g) · L2 / 8

VEd = (q + g) · L / 2

Консольная балка. Для равномерной нагрузки максимальные усилия определяются у закрепления.

MEd = (q + g) · L2 / 2

VEd = (q + g) · L

Сосредоточенная сила. Для шарнирно опёртой балки сила считается приложенной в середине пролёта. Для консоли она считается приложенной к свободному концу. Собственный вес при этом остаётся распределённой нагрузкой.

MEd = g · L2 / 8 + P · L / 4

MEd,c = g · L2 / 2 + P · L

Коэффициенты нагрузки. К введённой внешней нагрузке калькулятор дополнительно не применяет частные коэффициенты γG и γQ. Если требуется расчётное сочетание воздействий, его следует сформировать до ввода нагрузки в калькулятор.

Бетон и арматурная сталь

Нормативная основа. Расчётные зависимости ориентированы на подходы EN 1992-1-1, Еврокод 2: Проектирование железобетонных конструкций. Часть 1-1: Общие правила и правила для зданий. Для определения воздействий связанными документами являются EN 1990, Еврокод: Основы проектирования конструкций, и EN 1991-1-1, Еврокод 1: Воздействия на конструкции. Часть 1-1: Общие воздействия, плотности, собственный вес и эксплуатационные нагрузки зданий. Классы условий эксплуатации бетона связаны с EN 206, Бетон: требования, характеристики, производство и соответствие.

Расчётная прочность бетона. Для всех классов используется коэффициент материала γc=1.5. Базовая расчётная прочность получается делением характеристической прочности fck на 1.5. Для классов до C50/60 дополнительно принимается коэффициент αc=1.00, для классов C55/67 и выше αc=0.95.

fcd = fck / 1.5

Параметры диаграммы бетона. Для классов C8/10-C50/60 используются εcu=3.5‰, ω=0.810 и k2=0.416. Для бетонов большей прочности параметры уменьшаются:

• C55/67: εcu=3.2‰, ω=0.754, k2=0.403.
• C60/75: εcu=3.0‰, ω=0.694, k2=0.380.
• C70/85: εcu=2.8‰, ω=0.642, k2=0.371.
• C80/95: εcu=2.8‰, ω=0.605, k2=0.366.
• C90/105: εcu=2.8‰, ω=0.590, k2=0.366.

Прочность бетона на растяжение. Для минимального армирования используются значения fctm, зависящие от класса бетона. Для C8/10-C25/30 принимаются соответственно 1.2, 1.6, 1.9, 2.2 и 2.6 МПа; для C30/37-C50/60: 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 и 4.1 МПа; для C55/67-C90/105: 4.2, 4.4, 4.6, 4.8 и 5.0 МПа.

Арматурная сталь. Для B500A, B500B и B500C принимается характеристическая прочность fyk=500 МПа, коэффициент материала γs=1.15 и модуль упругости Es=200000 МПа. Расчётное сопротивление стали поэтому равно fyd=434.783 МПа.

Защитный слой и рабочая высота

Защитный слой. В упрощённом выборе по условиям эксплуатации калькулятор использует 20 мм для закрытого помещения с нормальной влажностью, 25 мм для помещения с повышенной влажностью, 30 мм для открытого воздуха и 40 мм при контакте с грунтом.

Классы условий эксплуатации. В калькуляторе используются фиксированные значения: X0 = 20 мм; XC1 = 30 мм; XC2, XC3, XC4 = 35 мм; XD1, XD2, XD3 = 50 мм; XA1 = 25 мм; XA2 = 30 мм; XA3 = 40 мм; XF = 40 мм; XS = 50 мм.

Рабочая высота. Расчёт ведётся до центра продольного стержня. Поэтому после определения диаметра арматуры рабочая высота уменьшается на защитный слой и половину диаметра.

d = h - z1 - φ1/2

Для второй арматурной зоны положение центра стержней определяется аналогично:

d2 = z2 + φ2/2

Повторный расчёт. Диаметр влияет на рабочую высоту, а рабочая высота влияет на требуемую площадь арматуры. Поэтому сначала предполагается диаметр 12 мм, затем диаметр подбирается, рабочая высота пересчитывается и вычисление повторяется. Предусмотрено до 12 таких итераций.

Требуемая площадь основной арматуры

Относительный изгибающий момент. После определения момента рассчитывается безразмерная характеристика загруженности бетонного сечения:

αm = MEd / (αc · fcd · b · d2)

Внутренний расчёт продолжается только пока значение находится внутри допустимого диапазона принятой модели. Предельное условие задаётся как αm / (ω/k2) ≤ 0.25.

Плечо внутренних сил. Для допустимого сечения определяется коэффициент ζ:

ζ = 0.5 + √(0.25 - αm / (ω/k2))

Расчётная площадь растянутой арматуры определяется из условия восприятия изгибающего момента:

As,calc = MEd / (fyd · ζ · d)

Минимальное армирование. Одновременно вычисляется минимальная площадь продольной арматуры. Используется большее из двух нормативных выражений:

As,min = max(0.26 · fctm/fyk; 0.0013) · b · d

Итоговое требование. Основная арматура должна удовлетворять одновременно расчёту по моменту и минимальному армированию.

As,req = max(As,calc; As,min)

Когда рассчитывается вторая арматурная зона

Предел одиночного армирования. Если включена дополнительная арматурная зона, калькулятор определяет границу, после которой часть усилий передаётся второй группе стержней. Для стали B500 расчётная деформация текучести составляет приблизительно 2.174‰.

ξlim = εcu / (εcu + 2.174)

αm,lim = ω · ξlim · (1 - k2 · ξlim)

Если αm ≤ αm,lim, дополнительная расчётная арматура не требуется. Если предел превышен и вторая зона включена, рассчитывается её требуемая площадь.

Коэффициент второй зоны. Для этой ветви используется табличная зависимость коэффициента ξ от αm. Значение интерполируется в диапазоне от 0.04 до 0.40. Отношение d2/d ограничивается диапазоном 0.04-0.16.

Дополнительный коэффициент зависит от класса стали: для B500A используется 3, для B500B используется 5, для B500C используется 10. Полученное значение ограничивается сверху единицей.

ks = min((ξ - d2/d) · kclass; 1)

Дополнительная площадь. Вторая зона воспринимает часть момента сверх предела одиночного армирования. Её площадь также не может быть меньше рассчитанного As,min.

As2 = max(As,min; (MEd - Mlim) / (ks · fyd · (d-d2)))

Для шарнирно опёртой балки основной растянутой зоной при рассматриваемых нагрузках является нижняя часть сечения. Для консоли основной рабочей зоной становится верхняя часть.

Выбор диаметра стержней

Стандартный ряд. После определения требуемой площади калькулятор не выдаёт произвольный диаметр. Проверяются последовательно диаметры 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 32, 36 и 40 мм.

Для каждого диаметра вычисляется суммарная площадь заданного количества стержней:

As,prov = n · π · φ2 / 4

Принцип выбора. Принимается первый диаметр из ряда, для которого фактическая площадь не меньше требуемой. Поэтому результат всегда округляется вверх до следующего доступного диаметра. Если даже стержни диаметром 40 мм не обеспечивают нужную площадь при выбранном количестве, калькулятор предлагает увеличить число стержней.

Размещение арматуры в сечении

Минимальный промежуток. После выбора диаметра проверяется, помещаются ли стержни по ширине балки. Чистый промежуток между соседними стержнями принимается не меньше 20 мм и одновременно не меньше диаметра самого стержня.

aclear = max(20 мм; φ)

Необходимая ширина. Проверка учитывает защитный слой с двух сторон, диаметры всех стержней и промежутки между ними.

breq = 2z + nφ + (n-1) · aclear

Арматура считается размещаемой только при breq ≤ b. Для основной и дополнительной зон проверка выполняется отдельно.

Максимальное армирование. Для каждой подобранной группы стержней используется верхний предел, равный 4% полной площади бетонного сечения.

As,max = 0.04 · b · h

Несущая способность по изгибу

Фактическая арматура. После подбора диаметра расчёт повторяется уже с принятой площадью стержней. Калькулятор определяет наибольший момент MRd, который эта арматура способна воспринять в рамках используемой расчётной модели.

Численный подбор. Значение MRd находится последовательным делением диапазона пополам. Выполняется до 80 итераций, поэтому результат практически не зависит от шага ручного перебора.

Использование несущей способности. Итоговый процент показывает отношение расчётного момента к найденной несущей способности.

ηM = MEd / MRd · 100%

Значение до 100% означает, что принятая продольная арматура проходит эту проверку. Значение более 100% означает превышение рассчитанной несущей способности по изгибу.

Проверка поперечной силы

Коэффициент продольного армирования. Для проверки используется фактически принятая площадь основной продольной арматуры. Относительное армирование ограничивается сверху значением 0.02.

ρl = min(0.02; Asl / (b · d))

Масштабный коэффициент. Рабочая высота d используется в миллиметрах:

k = min(2; 1 + √(200/d))

Сопротивление бетона. Используется коэффициент CRd,c=0.12. Калькулятор вычисляет основное значение сопротивления и минимальный предел, после чего принимает большее.

vRd,c,1 = 0.12 · k · (100 · ρl · fck)1/3

vmin = 0.035 · k3/2 · √fck

VRd,c = max(vRd,c,1; vmin) · b · d

Добавка от продольного сжимающего напряжения в этой проверке принимается равной нулю. Использование сопротивления по поперечной силе определяется отдельно от проверки изгиба.

ηV = VEd / VRd,c · 100%

FAQs

Почему собственный вес балки влияет на результат даже при неизменной внешней нагрузке?

Собственный вес рассчитывается из ширины и высоты сечения и автоматически добавляется к нагрузке. Поэтому увеличение размеров балки одновременно повышает её несущую способность и увеличивает действующую распределённую нагрузку.

Почему после изменения количества стержней калькулятор выбирает другой диаметр?

Требуемая площадь арматуры распределяется между заданным количеством стержней. При большем количестве нужная площадь может быть обеспечена меньшим диаметром, но одновременно калькулятор проверяет, помещается ли вся группа по ширине с учётом минимальных промежутков.

Почему включение дополнительной арматуры не всегда приводит к её подбору?

Вторая арматурная зона используется только после превышения расчётной границы одиночного армирования. Если основная зона способна обеспечить требуемое сопротивление в пределах принятой модели, дополнительная расчётная площадь остаётся равной нулю.

Что означает использование несущей способности 70% или 110%?

Процент показывает отношение действующего расчётного усилия к рассчитанному сопротивлению. Например, 70% означает использование примерно семи десятых доступной несущей способности, а 110% означает превышение расчётного сопротивления примерно на одну десятую.

Почему проверка по изгибу может проходить, а по поперечной силе нет?

Это независимые проверки. Изгиб оценивается по моменту и продольной арматуре, а сопротивление поперечной силе зависит от бетона, рабочей высоты и коэффициента продольного армирования, поэтому проценты использования могут существенно различаться.